Question 3
Durée : 5 mn
Note maximale : 6
Question
On remplace la bobine \((L,R)\) par un condensateur de capacité \(C\) en série avec une résistance \(R\) et on pose \(R_1 = R\) (figure 2).
Relation entre \(R\), \(C\) et \(\omega\) pour que la tension \(U_{DB}\) soit en phase avec la tension \(U_{AB}\).
Solution
Si \(\underline{I}\) est le courant qui circule dans \(AB\) alors : \(\underline{U}_{AB} = \underline{Z}_{AB} \underline{I}\) et \(\underline{U}_{DB} = \underline{Z}_{DB} \underline{I}\) avec \(\underline{Z}_{AB} = \underline{Z}_{AD} + \underline{Z}_{DB}\).
On tire de ces relations \(\frac{\underline{U}_{AB}}{\underline{U}_{DB}} = \frac{\underline{Z}_{AB}}{\underline{Z}_{DB}} = 1 + \frac{\underline{Z}_{AD}}{\underline{Z}_{DB}}\) or \(\underline{Z}_{AD} = R - \frac{j}{C \omega}\) et \(\underline{Z}_{DB} = \frac{R}{1 + j RC \omega}\) d'où
\(\frac{\underline{Z}_{AD}}{\underline{Z}_{DB}} = \frac{\left(1-\frac{j}{C \omega}\right) \left(1 + j RC \omega\right)}{R} = \frac{2+j\left(R^{2}C^{2}\omega^{2} - 1\right)}{RC \omega}\)
\(\Rightarrow \frac{\underline{U}_{AB}}{\underline{U}_{DB}} =3 + j \frac{R^{2}C^{2}\omega^{2} - 1}{RC \omega}\) ( 4 points )
Pour que les deux tensions soient en phase, la partie imaginaire doit être nulle d'où \(RC \omega = 1\)
( 2 points )