Question 3
Durée : 7 mn
Note maximale : 10
Question
En cherchant une solution de la forme : \(v(t) = v_{m} \cos\left(\omega t + \phi \right)\) où \(v(t) = \Re\left\{\underline{v}(t)\right\}\) avec \(\underline{v}(t) = \underline{v}_{m} e^{j \omega t}\) et \(\underline{v}_{m} = v_{m} e^{j \phi}\), Déterminer l'amplitude \(v_m\) et la phase \(\phi\) ainsi que l'impédance mécanique \(Z = \arrowvert \underline{Z} \arrowvert\) de l'oscillation définie par \(\underline{F}_{m} = \underline{Z}~ \underline{v}_{m}\).
Solution
En cherchant une solution \(v(t)\) sous la forme complexe \(\underline{v}(t) = \underline{v}_{m} e^{j \omega t}\) nous avons pour \(\underline{v'}(t) = j \omega \underline{v}(t)\) et \(\int \underline{v}(t) dt = \int \underline{v}_{m} e^{j \omega t} dt = \frac{1}{j \omega} \underline{v}(t) = - \frac{j}{\omega} \underline{v}(t)\)
d'où :
\(\left(j m \omega + f - \frac{j k}{\omega}\right) \underline{v}_{m} = \underline{F}_{m} \Rightarrow \underline{v}_{m} \left( f +j \left(m \omega - \frac{k}{\omega}\right)\right) = \underline{F}_{m}\)
donc l'amplitude : \(v_{m} = \frac{F_{m}}{\left[f^{2} + j \left(m \omega - \frac{k}{\omega}\right)^{2}\right]^{1/2}}\) ( 3 points )
et le déphasage \(\arg\left(\underline{v}_{m}\right)\):
\(\phi = \arg\left(\underline{F}_{m}\right)-\arg\left[f+j\left(m \omega - \frac{k}{\omega}\right)\right] = - \textrm{Arctan} \frac{m \omega - k/\omega}{f}\) ( 3 points )
L'impédance mécanique de l'oscillateur est :
\(\underline{Z}= \frac{\underline{F}_{m}}{\underline{v}_{m}} = f + j\left(m \omega - \frac{k}{\omega}\right)\) ( 2 points )
de module
\(Z = \arrowvert \underline{Z} \arrowvert= \left[f^{2} + \left(m \omega - \frac{k}{\omega}\right)^{2}\right]^{1/2}\) ( 2 points )