Physique
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Fonction exponentielle de x, dans la base a
Définition

On appelle fonction exponentielle de base a , la fonction notée (ou ), réciproque de :

Propriétés des fonctions

Démonstration

Remarque

La notation a été définie pour :

  • et entiers ou fractionnaires , positif ou négatif et pour , nous avons :

  • on prolonge la notation pour , en regardant comme la limite commune vers laquelle tendent les deux suites de puissances de ayant pour exposants les valeurs approchées de à , , , ... pris par défaut et par excés.

    Exemple : Sachant que la valeur de sera la limite commune des deux suites

  • La notation sera préférée à

Etude des fonctions

Les propriétés des fonctions se déduisent de celles de puisque : .

Les fonctions et , étant réciproques, seront représentées par des courbes symétriques par rapport à la droite d'équation .

Comme pour les fonctions nous devons considérer les cas suivants :

1er cas : , (Comportement de contraire à celui de la fonction )

  • Domaine de définition :

  • Etude aux bornes de :

    Quand

    ( Branche parabolique de direction asymptotique )

    Quand

    ( Asymptote horizontale d'équation )

  • Fonctions dérivées

    strictement décroissante sur

    est convexe sur

  • Tableau de variation et graphe

2ème cas : , (Comportement de semblable à celui de la fonction )

  • Domaine de définition :

  • Etude aux bornes de :

    Quand

    ( Asymptote horizontale d'équation )

    Quand

    ( Branche parabolique de direction asymptotique ).

  • Fonctions dérivées

    est strictement croissante sur

    est convexe sur

  • Tableau de variation et graphe

Légende :
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