Formules d'addition

\(\begin{array}{lll}\cos(a+b) = \cos a ~\cos b - \sin a ~\sin b \\ \cos(a-b) = \cos a ~\cos b + \sin a ~\sin b \\ \sin(a+b) = \sin a ~\cos b + \cos a ~\sin b \\ \sin(a-b) = \sin a ~\cos b - \cos a ~\sin b \end{array}\) \(\forall(a,b) \in \mathbb{R}^{2}\)

Démonstration

Soit le cercle trigonométrique et les deux axes rectangulaires \(\overrightarrow{Ox}\) et \(\overrightarrow{Oy}\) tels que \(\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{Oy}\right) = +\frac{\pi}{2}\)

Les axes rectangulaires \(\overrightarrow{OX}\) et \(\overrightarrow{OY}\) se déduisent des axes \(\overrightarrow{Ox}\) et \(\overrightarrow{Oy}\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(a\).

Puisque \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) sont les vecteurs unitaires du système \(xOy\), alors :

\(\overrightarrow{ON} = \cos (a+b) \vec{i} + \sin(a+b)\vec{j}\) (1)

or dans le système \(XOY\), les vecteurs \(\vec{I}\) et \(\vec{J}\) étant les vecteurs unitaires :

\(\overrightarrow{ON} = \cos b ~\vec{I} + \sin b ~\vec{J}\) (2)

Sachant que dans le système \(xOy\) :

\(\vec{I} = \cos a ~\vec{i} + \sin a ~\vec{j}\)

\(\vec{J} = \cos \left(a + \frac{\pi}{2}\right) \vec{i} + \sin \left(a + \frac{\pi}{2} \right) \vec{j} = - \sin a ~\vec{i} + \cos a~ \vec{j}\)

alors la relation (2) conduit à :

\(\begin{array}{ll}\overrightarrow{ON} &= \cos b ~\vec{I} + \sin b ~\vec{J} \\& = \cos b(\cos a ~\vec{i} + \sin a ~\vec{j}) + \sin b ( - \sin a ~\vec{i} + \cos a ~\vec{j} ) \\ & = (\cos a \cos b - \sin a \sin b)\vec{i} + (\sin a \cos b + \cos a \sin b)\vec{j} \end{array}\) (3)

Par identification des relations (1) et (3) :

\(\cos(a+b) = \cos a ~\cos b - \sin a ~\sin b\)

\(\sin(a+b) = \sin a ~\cos b + \cos a ~\sin b\)

Le changement de \(b\) en \(-b\) conduit aux expressions :

\(\cos(a-b) = \cos a ~\cos b + \sin a ~\sin b\)

\(\sin(a-b) = \sin a ~\cos b - \cos a ~\sin b\)

\(\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \left((a+b) \ne (2k + 1) \frac{\pi}{2} ; \left\{\begin{array}{ccc} a\ne (2 k + 1) \frac{\pi}{2} \\ b \ne (2k + 1) \frac{\pi}{2} \\ k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\right)\)

\(\tan (a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \left((a-b) \ne (2k + 1) \frac{\pi}{2} ; \left\{\begin{array}{ccc} a\ne (2 k + 1) \frac{\pi}{2} \\ b \ne (2k + 1) \frac{\pi}{2} \\ k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\right)\)

\(\textrm{cotan} (a+b) = \frac{\textrm{cotan} ~a~ \textrm{cotan}~ b - 1}{\textrm{cotan}~b + \textrm{cotan} ~a} \left((a+b) \ne k \pi ; \left\{\begin{array}{lll}a \ne k\pi \\ b \ne k \pi \\ k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\right)\)

\(\textrm{cotan} (a-b) = \frac{\textrm{cotan} ~a~ \textrm{cotan}~ b + 1}{\textrm{cotan}~b - \textrm{cotan} ~a} \left((a-b) \ne k \pi ; \left\{\begin{array}{lll}a \ne k\pi \\ b \ne k \pi \\ k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\right)\)

Démonstration

Par définition :

\(\tan(a+b) = \frac{\sin (a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b}\)

En divisant les termes du rapport par \(\cos a\) \(\cos b\), il vient :

\(\tan (a+b) = \frac{\frac{\sin a \cos b}{\cos a \cos b} + \frac{\cos a \sin b}{\cos a \cos b}}{\frac{\cos a \cos b}{\cos a \cos b} - \frac{\sin a \sin b}{ \cos a \cos b}}\)

\(\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}\)

Sachant que

\(\textrm{cotan}(a+b) = \frac{1}{\tan (a+b)} = \frac{1 - \tan a ~\tan b}{\tan a + \tan b} = \frac{1-\frac{1}{\textrm{cotan }a \textrm{ cotan } b}}{\frac{1}{\textrm{cotan } a} +\frac{1}{\textrm{cotan }b} }\)

\(\textrm{cotan}(a+b) = \frac{\textrm{cotan }a \textrm{ cotan } b - 1}{\textrm{ cotan }b + \textrm{cotan } a}\)

Le changement de \(b\) en \(-b\) conduit aux expressions :

\(\tan (a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a  \tan b}\)

\(\textrm{cotan }(a-b) = \frac{\textrm{cotan }a~ \textrm{cotan }b + 1}{ \textrm{cotan }b - \textrm{cotan }a}\)