Formules de duplication

Fonctions circulaires de l'arc \(2a\)

En posant \(b = a\) dans les formules d'addition, nous obtenons :

\(\boxed{{\qquad\cos 2a = \cos^{2}a - \sin^{2} a\quad\\ ~\qquad\sin 2a = 2 \sin a ~\cos a\\ ~\qquad \tan 2a= \frac{2 \tan a}{ 1 - \tan^{2} a} \\ ~\quad\textrm{cotan} 2a = \frac{\textrm{cotan}^{2} a - 1}{2 \textrm{cotan } a}\quad}}\)

Applications :

Expressions de \(\cos^{2}a\), \(\sin^{2}a\), \(\tan^{2}a\) et \(\textrm{cotan}^{2}a\) en fonction de \(\cos 2a\).

De la relation : \(\cos 2a = \cos^{2}a - \sin^{2}a = 2\cos^{2}a - 1 = 1 - 2\sin^{2}a\), nous en déduisons :

\(\boxed{{\qquad\cos^{2}a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\quad\\ ~\qquad\sin^{2}a = \frac{1- \cos 2 a}{2}\\ ~\qquad \tan^{2}a= \frac{1}{ \textrm{cotan}^{2}a } = \frac{1- \cos 2a}{1 + \cos 2a} }}\)

Expressions de \(\cos a\) , \(\sin a\), \(\tan a\) et \(\textrm{cotan }a\) en fonction de \(t = \tan(a/2)\).

Remplaçons \(2a\) par \(a\) dans les formules de duplication et tenons compte de la relation \(\cos^{2}(a/2) + \sin^{2}(a/2) = 1\), alors :

\(\boxed{{\qquad\cos a = \frac{1 -t^{2}}{1+t^{2}}\quad\\ ~\qquad\sin a = \frac{2 t}{1 + t^{2}}\\ ~\qquad \tan a= \frac{1}{ \textrm{cotan }a } = \frac{2t}{1 -t^{2}} }}\)avec \(t = \tan(a/2)\)

Démonstration

En remplaçant \(2a\) par \(a\) dans les formules de duplication, nous avons :

\(\cos a = \cos^{2} \frac{a}{2} - \sin^{2}\frac{a}{2} = \frac{\cos^{2} \frac{a}{2} - \sin^{2} \frac{a}{2}}{\cos^{2} \frac{a}{2} + \sin^{2} \frac{a}{2}}\)

\(= \frac{1 - \tan^{2} \frac{a}{2}}{1 + \tan^{2} \frac{a}{2}} = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\)

\(\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} = \frac{2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}{\cos^{2}\frac{a}{2} + \sin^{2} \frac{a}{2}}\)

\(= \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan^{2}\frac{a}{2}} = \frac{2t}{1 + t^{2}}\)

\(\tan a = \frac{1}{\textrm{cotan }a} = \frac{2 \tan \frac{a}{2}}{1 - \tan^{2} \frac{a}{2}} = \frac{2t}{1-t^{2}}\)