Physique
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Différentielle d'une fonction scalaire en un point
Définition
  • Si une fonction est dérivable en tout point d'un intervalle on définit la différentielle de cette fonction par : est un accroissement arbitraire de la variable

  • Dans le cas où la fonction à différencier est cette relation conduit à : et la différentielle de la fonction devient un accroissement arbitraire de la variable d'où :

  • En posant la formule de Taylor permet d'exprimer l'accroissement total en fonction de l'accroissement de la variable :

    et

    Cette différence est d'autant plus petite que est faible et en première approximation, on prendra :

Exemple : Variation de Surface

Variation de la surface d'un carré quand son côté augmente de

La surface du carré de côté étant à l'accroissement de la variable va correspondre un accroissement de la fonction d'où :

et

La différentielle de la surface étant

nous avons qui tend vers quand tend vers

Géométriquement cette différence représente l'aire du carré de côté

Opérations sur les différentielles
  • Cas d'une somme, d'un produit d'un quotient

    En multipliant par le résultat de la dérivée d'une fonction, nous obtenons sa différentielle. Donc pour deux fonctions et nous avons :

    et les différentielles logarithmiques

  • Cas d'une fonction composée d'une variable

    Connaissant la dérivée de la fonction composée nous en déduisons la différentielle :

Exemple : Différentielle d'une fonction

Soient et deux fonctions de la variable x. Alors :

Exemple : Différentielle d'une fonction composée

Soit alors avec

Si alors avec

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