Physique
Précédent
Suivant
Définition de l'intégrale définie
  • Sur un axe orienté, on considère les points et d'abscisses respectives et

  • Positionnons entre et une succession de points arbitraires d'abscisses pour former intervalles de longueurs

  • Considérons dans chaque intervalle un point d'abscisse

  • Une fonction définie et continue sur prendra la valeur au point

Définition : Somme de Riemann

La somme associée à la fonction :

avec et

est appelée somme de Riemann de sur

Exemple : Somme de Riemann

Soit la fonction définie et continue sur

Calculons la somme de Riemann dans le cas où l'intervalle est divisé en puis intervalles avec les points choisis au centre des segments

Cas où :

et

Cas où :

et et

Définition : Intégrale définie

On appelle intégrale définie de sur la limite, si elle existe, de la somme de Riemann quand le nombre n d'intervalles tend vers l'infini (c.a.d. quand et sera notée :

Cas où : La somme de Riemann est nulle car et

Exemple : Somme de Riemann : Intégrale définie

Soit la fonction définie et continue sur

La somme de Riemann quand

Nous avons vu dans l'exercice précédent que pour et nous obtenions respectivement et

Quand croit la somme de Riemann tend vers une limite :

aire de la surface comprise entre la courbe l'axe des abscisses et les droites d'équations et (voir le calcul de l'intégrale définie à partir d'une primitive de

Cas

Interprétation géométrique

Soit la courbe représentative dans un repère orthonormé d'une fonction définie et continue sur

cas : est positive sur

La somme de Riemann est la somme des aires des rectangles de longueur et de hauteur (fig1). Donc est une valeur approchée de l'aire du domaine limité par la courbe l'axe et les droites d'équation et (fig2). D'où :

fig 1

fig 2

cas : est négative sur

L'intégrale

(La valeur de l'intégrale est l'opposée de l'aire

cas : prend des valeurs positives et négatives sur

L'intégrale

Exemple : Intégrale d'une fonction à valeurs positives

Soit la fonction définie et continue sur

Exemple : Intégrale d'une fonction à valeurs négatives

Soit la fonction définie et continue sur

Exemple : Intégrale d'une fonction à valeurs positives et négatives

Soit la fonction définie et continue sur

Expression de l'intégrale définie en fonction d'une des primitives F(x) de f(x)

Soient

  • la fonction représentée par la courbe et

  • une fonction primitive de représentée par l'aire avec les points d'abscisses fixe) et variable).

On a :

d'où

Exemple : Calcul d'intégrales à partir d'une primitive F(x) de f(x)
  1. Intégrale de sur

    de la somme de Riemann)

  2. Intégrale de sur

    :avec aire du trapèze

  3. Intégrale de sur

    :avec aire du trapèze

  4. Intégrale de sur

    :avec aire du triangle et aire du triangle

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)