Physique
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Propriétés des intégrales définies

Soient et deux fonctions définies et continues avec

Par application de la formule

nous avons les propriétés suivantes :

Propriété : 1 : Symétrie

Démonstration

Exemple : Symétrie

donc

Propriété : 2 : Additivité

(Relation de Chasles)

Démonstration

Exemple : Additivité

Pour tout

  • pour

  • pour

Propriété : 3 : Multiplication par un scalaire λ

Démonstration

Exemple : Multiplication par un scalaire λ

donc

Propriété : 4 : Distributivité par rapport à l'addition

Démonstration

Exemple : Distributivité par rapport à l'addition

donc

Propriété : 5 : Signe de l'intégrale

Si (resp. alors (resp.

Exemple : Signe de l'intégrale (1)
Exemple : Signe de l'intégrale (2)

pour

pour

Propriété : 6 : Comparaison d'intégrale

Si alors

Exemple : Comparaison d'intégrale

Pour

et

d'où

Propriété : 7 : Inégalité de la moyenne

Si alors

Exemple : Inégalité de la moyenne

pour

Nous avons : puis successivement

D'où

Propriété : 8 : Majoration de la valeur absolue d'une intégrale

Si sur alors :

Exemple : Majoration de la valeur absolue d'une intégrale

Si avec alors

Puisque pour nous avons :

D'où

Propriété : 9 : Propriétés des fonctions paires, impaires et périodiques
  • Si est paire, alors

  • Si est impaire, alors

  • Si est périodique, de période alors

Exemple : Propriétés des fonctions paires

Fonction paire :

ici

Exemple :

Exemple : Propriétés des fonctions impaires

Fonction impaire :

ici

Exemple :

Exemple : Propriétés des fonctions périodiques

Fonction périodique de période :

ici

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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