L'intégrale simple

Le trinôme \(( x^2 + x - 2)\) a pour racines \(1\) et \(-2\) d'où la décomposition

\(\frac{x+1}{x^2+x-2}=\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}\)

La réduction au même dénominateur et l'identification conduit à :

\(\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2B-A}{(x-1)(x+2)}\)

d'où

\(\begin{cases}A+B=1\\-A+2B=1\end{cases}\color{blue}A=\frac13\color{black}\text{ et }\color{blue}B=\frac23~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

alors :

\(\color{blue}I_3\color{black}=\frac13\int_2^3\frac{dx}{x+2}+\frac23\int_2^3\frac{dx}{x-1}\)

\(=\frac13[\ln|x+2|+2\ln|x-1|]_2^3\)

\(=\frac13[\ln 5+2\ln 2-\ln 4-2\ln 1]\)

\(=\color{blue}\frac13\ln 5~~\color{red}\text{ (3 pts)}\)