L'intégrale simple

Intégrons par parties en posant :

\begin{array}{ll}u=\ln(1+\cos x)&dv=\cos xdx\\du=\frac{-\sin x}{1+\cos x}dx&v=\sin x\end{array}

d'où

I_2=\sin x\ln(1+\cos x)+\int\frac{\sin^2x}{1+\cos x}dx~~\color{red}\text{ (1 pt + 1 pt)}

or

\int\frac{\sin^2x}{1+\cos x}dx=\int\frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}dx=\int(1-\cos x)dx

=x-\sin x + C

donc

\color{blue}I_2=\sin x\ln(1+\cos x)-\sin x+ x+C~~\color{red}\text{ (2 pts)}