L'intégrale simple

La décomposition de la fraction rationnelle en éléments simples, sur \(\mathbb R,\) est de la forme :

\(\frac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}=\frac A{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

après réduction au même dénominateur nous obtenons :

\(\frac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}=\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x+1)}{(x+1)(x^2+x+1)}\)

\(=\frac{(A+B)x^2+(A+B+C)x+A+C}{(x+1)(x^2+x+1)}\)

Par identification :

\(\begin{cases}A+B=0\\A+B+C=1\\A+C=0\end{cases}\color{blue}A=-B=-C=-1~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

d'où

\(I_3=\int_0^1(-\frac1{x+1}+\frac{x+1}{x^2+x+1})dx\)

\(=\int_0^1(-\frac1{x+1}+\frac12\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac12\frac1{x^2+x+1})dx\)

\(=-\int_0^1\frac1{x+1}dx+\frac12\int_0^1\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx+\frac12\int_0^1\frac{dx}{(x+\frac12)^2+\frac34}\)

\(I_3=[-\ln|x+1|+\frac12\ln(x^2+x+1)+\frac1{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}]_0^1~~\color{red}\text{ (1 pt + 1 pt + 2 pts)}\)

\(I_3=[-\ln 2 +\frac12\ln3+\frac1{\sqrt3}\arctan\sqrt3-\frac1{\sqrt3}\arctan\frac{\sqrt3}3]\)

\(=\frac12\ln3-\ln2+\frac1{\sqrt3}(\frac{\pi}3-\frac{\pi}6)\)

\(\color{blue}I_3=\frac12\ln\frac34+\frac{\pi\sqrt3}{18}~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)