Équations différentielles du 2ème ordre

Résolution de l'équation différentielle : \(z' + z = e^{-2x} \Rightarrow z = K_{1}~e^{-x} - e^{-2x}\) (\(K_{1}\) réel).

Par intégration de \(z\), nous obtenons \(y = -Ke^{-x} + \frac{1}{2} e^{-2x} + K_{2}\) (\(K\) et \(K_{2}\) réels)

Pour \(m=0\) l'équation (\(\textrm{E}\)) devient : \(y" + y' = e^{-2x}\).

Posons \(z = y' \Rightarrow z' = y"\) et (\(\textrm{E}\)) se transforme en une équation différentielle linéaire du 1er ordre : \(z' + z = e^{-2x}\quad(\textrm{E'})\).

La solution générale de (\textrm{E'}) est égale à la somme de la solution générale \(z_{0}\) de l'équation homogène et d'une solution particulière \(z_{1}\) de l'équation complète.

La solution générale de \(z' + z = 0\) est de la forme \(z_{0} = K_{1} e^{-x}\).

La solution particulière \(z_{1}\) de (\(\textrm{E'}\)) est cherchée par une méthode d'identification en posant \(z_{1} = he^{-2x}\).

Par substitution de \(z\) par \(z_{1}\) dans (\(\textrm{E'}\)) nous déterminons la valeur de \(h\) :

\(z_{1}' + z_{1} = -2he^{-2x} + he^{-2x} = -he^{-2x} = e^{-2x} \Leftrightarrow \textcolor{red}{h = -1}\) et \(\textcolor{red}{z_{1} = -e^{-2x}}\).

D'où la solution générale de \((\textrm{E}')\) : \(z = z_{0} + z_{1} = K_{1} e^{-x} - e^{-2x}\).

Sachant que \(y' = z\), par intégration de \(z(x)\) nous obtenons la solution :

\(y = K_{1}~\int e^{-x}~\textrm{dx} - \int e^{-2x}~\textrm{dx} = + K e^{-x} + \frac{e^{-2x}}{2} + K_{2}\) (\(K\) et \(K_{2}\) réels}

L'équation caractéristique \(r^{2} + (2 m +1)r + 2m= 0\) admet pour discriminant : \(\Delta = (2m -1)^{2}\)

• Pour \(m\neq \frac{1}{2}\) et \(m \neq 1\) : \(y = \lambda e^{-x} + µe^{-2mx} + \frac{1}{2(1-m)} e^{-2x}\)

• Pour \(m = \frac{1}{2} : y = (\lambda x + µ) e^{-x} + e^{-2x}\)

• Pour \(m = 1 : y = \lambda e^{-x} + µe^{-2x} - xe^{-2x}\)

(avec \(\lambda\), \(µ\) réels)

L'équation différentielle homogène, admet pour équation caractéristique : \(r^{2} + (2m + 1)r + 2m = 0\) d'où le discriminant : \(\Delta = (2m - 1)^{2}\).

Recherche de la solution générale de l'équation homogène :

• Si \(m \neq \frac{1}{2}\), nous avons deux racines réelles distinctes :

  \(r_{1} = \frac{-(2m + 1) + (2m - 1)}{2} = -1\) et \(r_{2} = \frac{-(2m + 1) - (2m - 1)}{2} = -2m\)

  D'où la solution de l'équation homogène : \(y_{0} = \lambda~e^{-x} + µ e^{-2mx}\) avec \(\lambda\), \(µ\) réels.

• Si \(m = \frac{1}{2}\), nous avons une racine double : \(r=(-1)^{2}\)

  D'où la solution de l'équation homogène : \(y_{0} = (\lambda x + µ)e^{-x}\) avec \(\lambda\), \(µ\) réels.

Recherche de la solution particulière de l'équation complète :

Cherchons la solution particulière sous la forme : \(y_{1} = K~e^{-2x}\)

d'où \(y_{1}' = -2K~e^{-2x}\) et \(y_{1}" = 4 K~e^{-2x}\)

et par substitution dans l'équation complète : \(\Big[ 4 K + (2m + 1)(-2 K) + 2mK \Big]e^{-2x} = e^{-2x}\)

\(2K ( 1 - m)e^{-2x} = e^{-2x}\)

• Si \(m \neq 1\), alors \(K = \frac{1}{2(1 - m)}\) et \(y_{1} = \frac{1}{2(1 - m)}~e^{-2x}\)

• Si \(m = 1\), l'équation (\(\textrm{E}\)) s'écrit : \(y" + 3y' + 2y = e^{-2x} \qquad (\textrm{E}")\)

L'équation caractéristique admet pour racines \((–1)\) et \((–2)\). Nous cherchons donc la solution particulière sous la forme \(y_{1} = \lambda x e^{-2x}\) d'où \(y_{1}' = \lambda(1 - 2x)e^{-2x}\) et \(y_{1}" = 4 \lambda(x - 1)e^{-2x}\).

L'équation (\(\textrm{E}"\)) conduit à : \(\Big[ 4 \lambda x - 4 \lambda + 3 \lambda - 6 \lambda x + 2\lambda x\Big] e^{-2x} = e^{-2x} \Rightarrow -\lambda = 1 - \lambda = 1\)

Donc : \(\textcolor{red}{y_{1} = -x e^{-2x}}\)

Résultats

• Pour \(m \neq \frac{1}{2}\) et \(m \neq 1\) : \(y = \lambda e^{-x} + µ e^{-2mx} + \frac{1}{2(1 - m)}~e^{-2x}\)

• Pour \(m = \frac{1}{2}\) : \(y = (\lambda x + µ) e^{-x} + e^{-2x}\)

• Pour \(m = 1\) : \(y = \lambda e^{-x} + µ e^{-2x} - x e^{-2x}\)

(avec \(\lambda\), \(µ\) réels)