Circuit RLC - Régime transitoire

Partie

Question

Soit le circuit RLC, alimenté par une tension échelon \(e(t)\).

L'étude portera sur la détermination de \(v(t)\) aux bornes du condensateur \(C\).

Caractéristiques du circuit :

Bobine de \(250 \textrm{trs}\) : \(L \approx 2,2 \textrm{mH}, r = 0,6 \textrm{W}\)

Condensateur : \(C \approx 0,23 µ\textrm{F}\)

La tension échelon \(e(t)\) est définie par : \(t < 0\), \(e(t) = 0\) et pour \(t \geq 0\), \(e(t) = E_{0}~~\textrm{constant}\)

Montrer que \(v(t)\) vérifie l'équation différentielle : \(\frac{\textrm{d}^{2}\nu}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{1}{\tau} \frac{\textrm{d}\nu}{\textrm{d}t} = \omega_{0}^{2}~\nu = \omega_{0}^{2} e(t)\).

Schéma du montage électrique

On posera : \(\tau = RC\) (constante de temps)

\(\omega_{0}^{2} = 1 / LC\)

Aide simple

Déterminer par exemple, le courant \(i(t)\) dans le circuit source et écrire la loi d'ohm dans une maille contenant la bobine \(L\).

Aide détaillée

Remplaçons \(i(t)\) dans l'équation de maille :

\(e(t) = L \frac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} + \nu(t)\)

afin d'obtenir l'équation différentielle proposée.

Solution simple

La courant \(i(t)\) a pour expression \(i(t) = \frac{1}{R}~\left( \nu (t) + RC~\frac{\textrm{d} \nu}{\textrm{d} t}\right)\)

sachant que \(e(t) = L~\frac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t}+\nu (t)\), la substitution de \(i(t)\) dans cette équation conduit à l'équation différentielle :

\(LC \frac{\textrm{d}^{2} \nu}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{L}{R} \frac{\textrm{d} \nu}{\textrm{d} t} + \nu = e(t)\)

Solution détaillée

Posons \(i(t)\) courant dans le circuit source \(e(t)\) et \(i'(t)\) celui dans la branche contenant le condensateur.

Schéma du montage électrique

Aux bornes de la résistance \(\nu (t) = R (i - i')\), or, pendant la charge du condensateur, le courant vérifie la relation :

\(i'(t) = \frac{\textrm{d}q(t)}{\textrm{d}t} = C \frac{\textrm{d} \nu}{\textrm{d} t}\)

d'où \(\nu(t) = R~\left( i - C~\frac{\textrm{d} \nu}{\textrm{d} t} \right) \Rightarrow i(t) = \frac{1}{R}~\left( \nu(t) + RC \frac{\textrm{d} \nu}{\textrm{d}t} \right)\)

Puisque \(e(t) = L~\frac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} + \nu(t) = \frac{L}{R} \left( \frac{\textrm{d}\nu}{\textrm{d}t} + RC \frac{\textrm{d}^{2} \nu}{\textrm{d}t^{2}} \right) + \nu(t)\),

c'est à dire \(\textcolor{red}{LC \frac{\textrm{d}^{2} \nu}{\textrm{d} t^{2}} + \frac{L}{R} \frac{\textrm{d}\nu}{\textrm{d}t} + \nu = e(t)}\)

Divisons tous les termes par \(LC\) et introduisons les nouvelles variables \(t\) et \(\omega_{0}^{2}\) :

\(\textcolor{red}{\frac{\textrm{d}^{2} \nu}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{1}{\tau} \frac{\textrm{d}\nu}{\textrm{d}t} + \omega_{0}^{2} \nu = \omega_{0}^{2}~e(t)}\)

Question

Déterminer la solution générale de l'équation homogène.

Discuter les différents régimes en fonction des valeurs de \(R\) (régimes : apériodique, apériodique critique, pseudopériodique).

Aide simple

Suivant le signe du discriminant (fonction des valeurs de \(R\)), définir les différents régimes.

Aide détaillée

Posons \(\Delta\) le discriminant de l'équation caractéristique : \(r^{2} + \frac{1}{\tau} r + \omega_{0}^{2} = 0\)

  • Si \(\Delta > 0\) : 2 racines réelles, régime apériodique.

  • Si \(\Delta = 0\) : 1 racine double, régime apériodique critique.

  • Si \(\Delta < 0\) :

    • 2 racines complexes conjugués, régime pseudopériodique.

    • 2 racines imaginaires, régime oscillant sans amortissement.

Solution simple

Expression du discriminant \(\Delta\) de l'équation caractéristique :

\(\Delta = \frac{1}{\tau^{2}} - 4 \omega_{0}^{2} = \frac{R - 4 R^{2}C}{R^{2}LC^{2}}\)

  • 1er cas :

    \(\Delta > 0, \textcolor{blue}{R < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} \rightarrow\) Régime apériodique

  • 2ème cas :

    \(\Delta = 0, \textcolor{blue}{R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} \rightarrow\) Régime apériodique critique

  • 3ème cas :

    \(\Delta < 0, \textcolor{blue}{R > \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}} \rightarrow\) Régime pseudopériodique

Solution détaillée

Soit l'équation différentielle homogène :

\(\frac{\textrm{d}^{2} \nu}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{1}{\tau} \frac{\textrm{d} \nu}{\textrm{d} t} + \omega_{0}^{2} \nu = 0\),

elle admet pour équation caractéristique : \(r^{2} + \left( \frac{1}{\tau} \right) r + \omega_{0}^{2} = 0\).

Calculons le discriminant : \(\Delta = \left( \frac{1}{\tau} \right)^{2} - 4 \omega_{0}^{2} = \frac{L}{R^{2} C^{2}} - \frac{4}{LC} = \frac{L - 4R^{2}C}{R^{2}LC^{2}}\)

  • 1er cas : \(\Delta > 0, L - 4R^{2}C > 0 \Rightarrow R < \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}\)

    Equation caractéristique admet 2 racines :

    \(r_{1} = - \frac{1}{2}~\left( \frac{1}{\tau} + \sqrt{\frac{1}{\tau^{2}} - 4 \omega_{0}^{2}} \right)\) et \(r_{2} = - \frac{1}{2}~\left( \frac{1}{\tau} - \sqrt{\frac{1}{\tau^{2}} - 4 \omega_{0}^{2}} \right)\)

    La solution générale est donc : \(\textcolor{blue}{\nu(t) = K_{1} e^{r_{1} t} + K_{2} e^{r_{2}t}}\) régime périodique

  • 2nd cas : \(\Delta = 0, L - 4 R^{2}C = 0 \Rightarrow R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}\)

    Equation caractéristique admet 1 racine double :

    \(r = r_{1} = r_{2} = - \frac{1}{2 \tau}\)

    La solution générale est donc : \(\nu(t) = ( K_{1}t + K_{2}) e^{rt}\) régime apériodique critique

  • 3ème cas : \(\Delta < 0, L - 4 R^{2}C < 0 \Rightarrow R > \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}}\)

    Équation caractéristique admet 2 racines complexes conjugués :

    \(r = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tau} \pm j \sqrt{4 \omega_{0}^{2} - \frac{1}{\tau^{2}}}\right) = \alpha \pm j \beta\)

    La solution générale est donc :

    \(\nu (t) = e^{\alpha t} (K_{1} \cos{\beta t} + K_{2} \sin \beta t)\) ou \(\nu (t) = Ke^{\alpha t} \cos{(\beta t + \rho)}\) régime pseudopériodique

Application numérique :

La résistance critique \(R_{C} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2,2.10^{-3}}{0,23.10^{-6}}} \approx \frac{10^{2}}{2} = 50 \Omega\)

Donc pour \(R < 50 \Omega\) le régime est apériodique.

pour \(R = 50 \Omega\) le régime est apériodique critique.

pour \(R > 50 \Omega\) le régime est pseudopériodique.

Pour vérifier expérimentalement :