Adaptation en puissance : cellule en T
Partie
Question
Pour réaliser une adaptation en puissance entre un générateur de tension sinusoïdale de f.é.m. : \(e(t) = E \sqrt2\cos\omega t\) et de résistacne interne \(r\), et une charge purement résistive de valeur \(R\) on réalise le montage indiqué sur la figure, dont les éléments vérifient la relation \(LC\omega^2=1\).
Quelle relation doit il y avoir entre \(r, R, L \textrm{ et }C\) pour que l'adaptation soit réalisée ?
Quand l'adaptation est réalisée, comparer la puissance fournie par le générateur à celle dissipée dans la charge. Quel est l'intérêt de n'utiliser que des éléments réactifs dans ce montage ?
Aide simple
La puissance fournie par un générateur à une charge est maximale si leurs impédances complexes sont des complexes conjugués.
Aide détaillée
Exprimer la f.é.m. du générateur de Thévenin alimentant \(R\), puis son impédance interne et trouver la condition pour qu'elle soit le complexe conjugué de \(R\).
Exprimer l'impédance complexe du circuit alimenté par le générateur \(\{e(t), r\}\), et en déduire la puissance fournie par le générateur à ce circuit.
Aide méthodologique
Association mixte de dipôles.
Solution simple
\(\displaystyle{RC=\frac{L}{r}}\)
\(\displaystyle{P=\frac{E^2}{4r}}\)
Solution détaillée
Le générateur alimentant \(R\) a pour schéma :
Calculons les caractéristiques du générateur de Thévenin équivalent à ce montage.
La f.é.m.\(e'(t)\) est la tension à vide entre \(A\) et \(B\), qui est aussi la tension à vide aux bornes de \(C\).
La boucle formée par le générateur, \(L\) et \(C\) constitue un diviseur de tension.
En utilisant les notations complexes,\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline e'(t)&=&\underline e(t)\frac{\underline Z_C}{\underline Z_r+\underline Z_L+\underline Z_C}=\underline e(t)\frac{\frac{1}{jC\omega}}{r+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}}\\&=&\underline e(t)\frac{\frac{1}{jC\omega}}{r+j(L\omega-\frac{1}{C\omega})}=\underline e(t)\frac{1}{jrC\omega}\end{array}}\)compte tenu de la relation \(\displaystyle{LC\omega^2=1}\) ;
cette tension est donc en quadrature avec \(e(t)\) et a pour valeur efficace \(E' = E/rC\omega\)
L'impédance interne est celle du montage où l'on n'a conservé que les éléments passifs :
Ce montage se compose d'une bobine en série avec deux branches en parallèle, l'une formée des deux éléments \(r\) et \(L\) et l'autre du condensateur.
L'impédance complexe de dipôles associés en série est égale à la somme de leurs impédances complexes ;
pour la branche \(r, L\) on a donc : \(\displaystyle{\underline Z_{rL} =\underline Y_{rL} + jL\omega}\)
L'admittance complexe du dipôle équivalent à une association de dipôles en parallèle est égale à la somme des admittances ;
Pour les deux branches : \(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Y_{rLC}&=&\underline Y_{Lr}+\underline Y_{C}\\ & = & \frac{1}{r+jL\omega}+jC\omega\\ & = & \frac{1-LC\omega^2+jrC\omega}{r+jL\omega}=\frac{jrC\omega}{r+jL\omega}\end{array}}\) , compte tenu de la relation \(LC\omega^2 = 1\)
Finalement, vu de \(A\) et \(B\), le circuit a pour impédance :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\underline Z_{AB}&=&\underline Z_L+\underline Z_{rLC}\\ & = & jL\omega+\frac{r+jL\omega}{jrC\omega}\\ & = & \frac{r(1-LC\omega^2)+jL\omega}{jrC\omega}=\frac{L}{rC} \end{array}}\)
La puissance fournie par un générateur à une charge est maximalesi leurs impédances complexes sont des complexes conjugués.
La charge ayant pour valeur \(R\), la condition d'adaptation est donc : \(\displaystyle{RC=\frac{L}{r}}\)
Quand cette condition est réalisée, la puissancedissipée dans \(R\) a pour valeur\(\displaystyle{P=\frac{E'^2}{4R}}\)
On remplace \(E'\) par son expression :
\(\displaystyle{E'=\frac{E}{rC\omega}}\) qui devient \(\displaystyle{E'=\frac{E}{r}\sqrt{\frac{L}{C}}}\) , puisque \(\displaystyle{LC\omega^2 = 1}\) , puis \(\displaystyle{E'=\sqrt{\frac{E}{r}}}\) , puisque \(\displaystyle{RC=\frac{L}{r}\iff r=\sqrt{\frac{L}{C}}}\)
Finalement : \(\displaystyle{P=\frac{E^2}{4r}}\)
Le générateur alimente le montage :
qui est identique à celui de la question 1, dans lequel on aurait remplacé \(r\) par \(R\).
D'où son impédance : \(\displaystyle{\underline Z=\frac{L}{rC}=r}\) , compte tenu des relations précédemment établies. Comme \(\displaystyle{Z = r}\) , il y a adaptation entre le générateur et le montage, et la puissance fournie par le générateur a pour valeur \(\displaystyle{P=\frac{E^2}{4r}}\).
Toute la puissance fournie par le générateur est transmise à la charge \(R\).
La cellule en \(T\), qui n'est formée que d'éléments purement réactifs, permet de réaliser une adaptation sans perte d'énergie.