Physique
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Résolution de l'équation différentielle

Mathématiquement, l'équation est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme générale .

En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique il vient : et

A partir des expressions de la solution générale , que l'on suppose connues, suivant les valeurs positive, nulle ou négative du discriminant ou du discriminant réduit , on obtient directement les expressions de données dans la page suivante.

Rappelons également le calcul complet de résolution à partir de l'équation physique.

Rappel : Méthode de résolution de l'équation différentielle du second ordre linéaire et à coefficients constants
  • On considère une équation du type

  • On montre en mathématiques que la solution générale d'une telle équation est une combinaison linéaire de deux solutions linéairement indépendantes et  :

( et étant deux constantes) (2)

  • La recherche des solutions et se fait en considérant la fonction et en reportant cette fonction dans l'équation (1).

Sachant que et que l'équation (1) conduit à l'équation

.

Nous obtenons ainsi l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle :

(3)

Si satisfait à cette équation, alors satisfait à l'équation (1). L'équation caractéristique possède en général deux racines (réelles ou complexes conjuguées) et . On peut donc déterminer deux solutions linéairement indépendantes de (1) :

et

  • La solution générale s'écrit :

La forme de dépend de la nature des racines et et donc des valeurs positive, nulle ou négative du discriminant de l'équation caractéristique associée ou du discriminant réduit .

Les expressions de sont données dans la page suivante.

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