| Résolution de l'équation différentielle |
Mathématiquement, l'équation
est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme générale
.
En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique il vient :
et
A partir des expressions de la solution générale
, que l'on suppose connues, suivant les valeurs positive, nulle ou négative du discriminant
ou du discriminant réduit
, on obtient directement les expressions de
données dans la page suivante.
Rappelons également le calcul complet de résolution à partir de l'équation physique.
On considère une équation du type
On montre en mathématiques que la solution générale
d'une telle équation est une combinaison linéaire de deux solutions linéairement indépendantes
et
:
(
et
étant deux constantes) (2)
La recherche des solutions
et
se fait en considérant la fonction
et en reportant cette fonction dans l'équation (1).
Sachant que
et que
l'équation (1) conduit à l'équation
.
Nous obtenons ainsi l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle :
(3)
Si
satisfait à cette équation, alors
satisfait à l'équation (1). L'équation caractéristique possède en général deux racines (réelles ou complexes conjuguées)
et
. On peut donc déterminer deux solutions linéairement indépendantes de (1) :
et
La solution générale
s'écrit :
La forme de
dépend de la nature des racines
et
et donc des valeurs positive, nulle ou négative du discriminant de l'équation caractéristique associée
ou du discriminant réduit
.
Les expressions de
sont données dans la page suivante.
