Résolution de l'équation q'' + 4 q' + 3 q = 0

Partie

Question

Résoudre l'équation différentielle \(q'' + 4 q' + 3q = 0\) associée à un oscillateur harmonique amorti. Pour cela :

  • Indiquer les valeurs du coefficient d'amortissement et de la pulsation propre de l'oscillateur.

  • Écrire l'équation caractéristique.

  • Calculer le discriminant réduit \(\Delta '\), en déduire le type de régime.

  • Calculer les racines \(r_{1}\) et \(r_{2}.\)

  • Écrire la solution générale \(q(t).\)

Solution détaillée

L'équation décrit un oscillateur dont le coefficient d'amortissement est \(\lambda = 1\)et dont la pulsation propre est \(\omega_{0} = \sqrt{3}.\) La dimension de \(\lambda\) est l'inverse d'un temps ( \(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.), celle de \(\omega_{0}\) est une pulsation (\(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.).

L'équation caractéristique s'écrit : \(r^{2} + 4r + 3 = 0.\)

Le discriminant réduit s'écrit \(\Delta ' = \bigg(\frac{4}{2}\bigg)^{2} - 3,\) soit \(\Delta ' = 2^{2} - 3 = 1.\)

Le discriminant étant positif, les deux racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes, le régime est apériodique.

Les racines ont pour expressions : \(r_{1} = - \lambda + \sqrt{\Delta '}\) et \(r_{2} = - \lambda - \sqrt{\Delta '}\), soit ici \(r_{1} = -2+1 = -1\) et \(r_{2} = -2-1 = -3.\)

La solution générale de l'équation demandée s'écrit donc :

\(\displaystyle{\begin{array} {ll} q(t) = e^{- \lambda t} (A e^{\sqrt{\Delta '}~t} + B e^{-\sqrt{\Delta '}~t}) &= e^{-2t}( A e^{t} + B e^{-t}) \\ &= A e^{-t} + B e^{-3t} \end{array}}\)

Dans cet exercice il n'est pas demandé de déterminer les constantes \(A\) et \(B.\)