Résolution de l'équation q'' + 2 q' + q = 0
Partie
Question
Résoudre l'équation différentielle \(q'' + 2 q' + q = 0\) associée à un oscillateur harmonique amorti. Pour cela :
Indiquer les valeurs du coefficient d'amortissement et de la pulsation propre de l'oscillateur.
Écrire l'équation caractéristique.
Calculer le discriminant réduit \(\Delta '\), en déduire le type de régime.
Calculer les racines \(r_{1}\) et \(r_{2}.\)
Écrire la solution générale \(q(t).\)
Solution détaillée
L'équation décrit un oscillateur dont le coefficient d'amortissement est \(\lambda = 1\)et dont la pulsation propre est \(\omega_{0} = 1.\) La dimension de \(\lambda\) est l'inverse d'un temps ( \(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.), celle de \(\omega_{0}\) est une pulsation (\(\textrm{rad.s}^{-1}\) dans le système S.I.).
L'équation caractéristique s'écrit : \(r^{2} + 2r + 1 = 0.\)
Le discriminant réduit s'écrit \(\Delta ' = 1-1,\) soit \(\Delta ' = 0.\)
Le discriminant réduit étant nul, la racine de l'équation caractéristique est une racine double réelle : le régime est critique. La racine a pour valeur \(r_{0} = -1.\)
La solution générale de l'équation demandée s'écrit donc :
\(q(t) = e^{r_{0}t} (A_{c} t + B_{c}) = e^{-t} (A_{c}t + B_{c})\)
Dans cet exercice il n'est pas demandé de déterminer les constantes \(A_{c}\) et \(B_{c}\).