Etude de l'amplitude des oscillations forcées en régime permanent en fonction de la pulsation de l'excitation
Expérimentalement lorsque la pulsation de l'excitation varie de la valeur zéro à des valeurs élevées, on constate que, sous certaines conditions, l'amplitude des oscillations présente un maximum.
Étude de la fonction \(x_{pm}(\Omega)\) :
Cette fonction est positive, elle est définie dans l'intervalle \([0, +\infty [\) et tend vers 0 par valeur positive lorsque \(\Omega \to + \infty\) .
Elle présente un extrémum pour les valeurs de \(\Omega\) satisfaisant à l'équation \(\frac{d}{d\Omega}D(\Omega) = 0\), où \(D(\Omega) = (\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2~ \lambda ~\Omega)^2\) est la quantité sous le radical.
Calculons cette dérivée, il vient :
\(\frac{d}{d\Omega} D(\Omega)= 2 (\omega_0^2 - \Omega^2) (-2 ~\Omega) + 2 (2 ~\lambda ~\Omega)2 \lambda = 4 \Omega (\Omega^2 - \omega_0^2 + 2 \lambda^2)\)
La fonction présente donc des extréma pour \(\Omega = 0\) et pour \((\Omega^2 - \omega_0^2 + 2 ~\lambda^2) = 0\) soit pour \(\Omega = \sqrt{\omega_0^2 - 2 \lambda^2}\). Remarquons que cette valeur, appelée pulsation de résonance et notée \(\Omega_r\), est définie si \(\omega_0^2 - 2 \lambda^2 > 0\), soit si \(\lambda < \omega_0 / \sqrt{2}\).
L'étude complète de la fonction montre qu'il existe :
si \(\lambda > \omega_0 / \sqrt{2}\) : un maximum pour \(\Omega = 0\),
si \(\lambda =\omega_0 / \sqrt{2}\) : un maximum pour \(\Omega = 0\),
si \(\lambda < \omega_0 / \sqrt{2}\) : un maximum pour \(\Omega =\Omega_r\) et un minimum pour \(\Omega = 0\), dans ce dernier cas la fonction présente un pic de résonance pour la pulsation de résonance
\(\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2 \lambda^2}\) .
Représentation de la fonction \(x_{pm}(\Omega)\)
La figure ci-dessous représente les graphes des fonctions \(x_{pm} (\Omega)\) correspondant à des oscillateurs différents, de même pulsation propre \(\omega_0 = 1 \mathrm{ rad.s}^{-1}\) mais de coefficient d'amortissement \(\lambda\) décroissant de \(5\) à \(0,01 \mathrm{ rad.s}^{-1}\).
On vérifie que les graphes présentent un pic de résonance pour les valeurs \(\lambda_2 = 0,3 \mathrm{ rad.s}^{-1}\) et \(\lambda_1 = 0,01\mathrm{ rad.s}^{-1}\), valeurs satisfaisant à la condition \(\lambda < \omega_0 / \sqrt{2}\). \(A ~\omega_0\) fixé, le pic de résonance est d'autant plus marqué que la valeur de \(\lambda\) est petite et on remarque que la valeur de \(\Omega_r\) augmente lorsque la valeur de \(\lambda\) diminue.
Le calcul des amplitudes pour \(\Omega = 0\) et \(\Omega = \Omega_r\) conduit aux résultats :
\(x_{pm}(0) = \frac{F_m / m}{\omega_0^2}\)
\(x_{pm} (\Omega_r) = \frac{F_m / m}{2 \lambda \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}\)
Facteur de résonance \(R\) :
Il est défini par le rapport des amplitudes à la résonance et à la pulsation nulle, soit :
\(R = \frac{x_{pm}(\Omega_r)}{x_{pm}(0)} = \frac{\omega_0^2}{ 2 ~\lambda ~\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}\)
Exprimé en fonction du facteur de qualité \(Q = \frac{\omega_0}{2 \lambda}\), \(R\) s'écrit :
\(R = Q \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4 Q^2}}}\)
Le phénomène de résonance est d'autant plus marqué que le facteur de qualité \(Q\) est plus grand.
Cas de l'amortissement très faible :
Dans ce cas \(\lambda \ll \omega_0\), et par suite :
\(\Omega_r \approx \omega_0\), \(x_{pm}(\Omega_r) = \frac{F_m / m}{2 ~\lambda~ \omega_0}\), on en déduit \(R \approx \frac{\omega_0}{2 \lambda}\), soit finalement : \(R\approx Q\).
Lorsque l'amortissement est très faible, la pulsation de résonance et le facteur de résonance sont très peu différents respectivement de la pulsation propre et du facteur de qualité de l'oscillateur.