Physique
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Réponse à un échelon
Le test comporte 3 questions :
Circuit d'allumage
Circuit à trois branches
Circuits comportant des résistances et des bobines
La durée indicative du test est de 33 minutes.
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Circuit d'allumage

Le circuit d'allumage d'un moteur à explosion peut être modélisé par le montage suivant :

(batterie).

La bobine (bobine d'allumage) est résistive et peut être schématisée par une résistance en série avec une inductance .

Le circuit d'allumage est assimilé à une résistance .

On notera le courant dans la bobine et celui dans .

  1. L'interrupteur est fermé, et le régime permanent établi :

    1. Exprimer la tension aux bornes de la bobine en fonction de . Que devient cette expression en régime permanent continu ?

    2. Calculer et en régime permanent continu.

  2. A l'instant , on ouvre l'interrupteur. On pose .

    1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par et la résoudre. La condition initiale sera obtenue en considérant la continuité de .

    2. En déduire et sa valeur à . Quel est l'intérêt de ce montage ?

Circuit à trois branches

On considère le circuit ci-dessous :

On ferme l'interrupteur à ; déterminer les équations d'évolution des courants dans toutes les branches.

Application numérique :

 ;

 ;

.

Circuits comportant des résistances et des bobines

Dans le circuit ci-dessus, établir l'équation du courant débité par le générateur à partir de la date où l'on ferme l'interrupteur.

Application numérique :

 ;

 ;

.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Circuit d'allumage
    1. Quand l'interrupteur est fermé, la tension est la même aux bornes des 3 branches :  ;

       ;

      (3 pts)

    2. Quand le régime permanent est atteint :

      , et ;

      dès la fermeture de l'interrupteur, (2 pts)

    1. Quand l'interrupteur est ouvert, il n'y a plus qu'une seule maille dans laquelle passe un courant unique d'intensité ; l'application de la loi des mailles donne :

      qui peut s'écrire :

      Il s'agit de l'équation d'un circuit du premier ordre dont la constante de temps est . (2 pts)

      La solution de cette équation est , où est une constante donnée par les conditions initiales.

      L'intensité dans une bobine ne peut varier que de façon continue, selon la loi de Lenz ; donc :

      finalement :

      L'intensité à travers le circuit d'allumage décroît progressivement à partir de . (2 pts)

    2. D'après la loi d'Ohm, pour .

      Application numérique :

      le montage permet d'avoir une tension d'allumage importante ( ) à partir d'une batterie délivrant . (2 pts)

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Circuit à trois branches
  • Avant la fermeture de l'interrupteur, l'intensité est nulle dans les 3 branches.

    Quand l'interrupteur est fermé, la tension est la même aux bornes des 3 branches ; si les branches sont affectées de l'indice de la résistance qu'elles contiennent :

    La loi aux nœuds donne :

    Les deux premiers termes de l'équation donnent :

    Les deux derniers termes de l'équation donnent :

    Relations qui, reportées dans l'équation aux noeuds, conduisent à :

    qui peut aussi s'écrire :

    Il s'agit de l'équation d'un circuit du premier ordre de constante de temps : (3 pts)

  • La solution de cette équation est de la forme :

    et sont deux constantes, la première dépendant des conditions initiales, la seconde parce que le second membre de l'équation différentielle est constant.

    • Détermination de la solution particulière :

      Si , on a , et

    • Détermination de la constante :

      Dans une bobine, l'intensité du courant varie de façon continue ; donc, à , , d'où

    Finalement :

    L'intensité dans la bobine croît régulièrement de jusqu'à la valeur finale . (2 pts)

  • Les intensités dans les autres branches décroissent de la valeur pour , à leurs valeurs en régime permanent : pour , pour . (2 pts)

  • Application numérique :

     ;

    ;

     ;

    . (2 pts)

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Circuits comportant des résistances et des bobines
  • Tant que l'interrupteur est ouvert, aucun courant ne circule dans le circuit.

    Les 3 bobines en parallèle sont équivalentes à une bobine unique, d'inductance

    . Les 2 résistances en parallèle sont équivalentes à une résistance unique, de valeur .

    Quand on ferme l'interrupteur, tout se passe donc comme si le générateur débitait dans un circuit composé d'une résistance en série avec une bobine d'inductance . (2 pts)

  • Appliquons la loi d'addition des tensions :

    Le circuit est donc un circuit du premier ordre de constante de temps . Le courant débité par le générateur est donc de la forme :

    et sont deux constantes, la première dépendant des conditions initiales, la seconde parce que le second membre de l'équation différentielle est constant. (2 pts)

  • Détermination de la solution particulière :

    Le second membre de l'équation différentielle étant constant, on cherche une solution particulière . Alors , donc . (2 pts)

  • D'où :

    L'intensité du courant dans une bobine varie de façon continue. Comme il n'y avait aucun courant avant la fermeture de l'interrupteur, et que l'intensité est la même partout dans le circuit simplifié, à , on a .

    Finalement :

    L'intensité débitée par le générateur croît de à . (3 pts)

  • Application numérique :

    ;

    (2 pts)

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/31
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :33 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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