Circuits du premier ordre

Etude du régime permanent avant la fermeture :

dans la maille de gauche, \(\displaystyle{ i_1 = \frac{E_1}{2 . R} = 3 \mathrm{ mA} }\). (1 pt)

dans la maille de droite, en régime permanent le condensateur est complètement chargé, sa tension aux bornes est égale à \(E_2\), et aucun courant ne circule. (1 pt)

Quand on ferme l'interrupteur (schéma ci-dessus) :

• d'après la loi aux nœuds : \(i_1 + i_2 = i_3 + i_4\)

• dans la maille de gauche : \(R . (i_1 + i_4) = E_1\)

• dans la maille de droite : \(\displaystyle{ R . i_2 + \frac{q}{C} = E_2 }\) et : \(\displaystyle{ i_3 = \frac{ \mathrm{d} q}{ \mathrm{d} t} }\)

• entre les deux nœuds : \(\displaystyle{ R . i_4 = \frac{q}{C} }\) (3 pts)

Donc :

\(\displaystyle{ i_1 = \frac{E_1}{R} - i_4 = \frac{E_1}{R} - \frac{q}{R . C} }\) ;

\(\displaystyle{ i_2 = \frac{E_2}{R} - \frac{q}{R . C} }\) ;

\(\displaystyle{ i_3 = \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} }\) ;

\(\displaystyle{ i_4 = \frac{q}{R . C} }\)

d'où \(\displaystyle{ i_1 + i_2 = i_3 + i_4 \Leftrightarrow \frac{E_1}{R} - \frac{q}{R . C} + \frac{E_2}{R} - \frac{q}{R . C} = \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} + \frac{q}{R . C} }\)

finalement : \(\displaystyle{ \frac{2 . q}{R .C} + 3 . \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} =\frac{E_1 + E_2}{R} }\)

qui peut aussi s'écrire :

\(\displaystyle{ q + \frac{3 . R . C}{2} . \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} = \frac{3 . C . (E_1 + E_2)}{2} }\)

ou, en fonction de la tension \(\displaystyle{ u_C = \frac{q}{C} }\) aux bornes du condensateur :

\(\displaystyle{ u_C + \frac{3 . R . C}{2} . \frac{\mathrm{d} u_C}{\mathrm{d} t} = \frac{3 . (E_1 + E_2)}{2} }\)

Le circuit est donc un circuit du premier ordre de constante de temps \(\displaystyle{ \tau = \frac{3 . R . C}{2}}\). La tension \(u_C\) aux bornes du condensateur est donc de la forme :

\(\displaystyle{ u_C(t) = K . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + C' }\)

où \(K\) et \(C'\) sont deux constantes, la première dépendant des conditions initiales, la seconde parce que le second membre de l'équation différentielle est constant. (3 pts)

• Détermination de la solution particulière \(C'\) :

  Le second membre de l'équation différentielle étant constant, on cherche une solution particulière \(i_3 = \mathrm{constante} = C'\).

  On a alors \(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d} u_C}{\mathrm{d} t} = 0 }\), donc \(\displaystyle{ u_C = 3 . \frac{E_1 + E_2}{2} = C' }\).

  D'où : \(\displaystyle{ u_C(t) = K . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + 3 . \frac{E_1 + E_2}{2} }\). (2 pts)

• Détermination de la constante \(K\) :

  La charge d'un condensateur varie de façon continue, donc sa tension aux bornes aussi. Avant la fermeture de l'interrupteur, la tension en régime permanent valait \(u_C = E_2\). Donc :

  \(\displaystyle{ u_C(0) = K . \mathrm{e}^{-{0}/{\tau}} + 3 . \frac{E_1 + E_2}{2} = E_2 }\)

  \(\Rightarrow\) \(\displaystyle{ K = E_2 - 3 . \frac{E_1 + E_2}{2} = - \frac{3 . E_1 + E_2}{2} }\)

  Finalement :

  \(\displaystyle{ u_C(t) = - \frac{3 . E_1 + E_2}{2} . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + 3 . \frac{E_1 + E_2}{2}}\)

  La tension aux bornes du condensateur varie de \(E_2\) à \(\displaystyle{ 3 . \frac{E_1 + E_2}{2} }\). (3 pts)

• Application numérique :

  \(\displaystyle{ \tau = \frac{3 . R . C}{2} = \mathrm{0,5 s} }\) ;

  \(\displaystyle{ u_C(t) = - \mathrm{52,5} . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + \mathrm{67,5} }\). (2 pts)