Introduction

Le pendule simple est lâché avec une vitesse initiale depuis le point situé sur sa verticale (point supérieur défini par \(\theta=\pi\) (modulo \(2\pi\))).

On suppose que son énergie totale reste constante (pas de frottement).

L'énergie totale du pendule est la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique :

• son énergie potentielle s'exprime : \(E_p = mgR.(1-\cos\theta )\)

• son énergie cinétique s'exprime : \(E_c = (1/2).m.(R\theta')^2\)

La conservation de l'énergie (\(E_p + E_c =\) constante ) fournit alors une relation \(\theta'(\theta)\) qui décrit une trajectoire dans cet espace de représentation, que l'on nomme : "plan de phase" (partie droite de la simulation).

Cette relation a été intégrée numériquement pour obtenir la relation \(\theta(t)\) qui détermine la solution dans l'espace physique (partie gauche de l'animation).

Dans le cas représenté ici, le pendule repasse en \(\theta=\pi\) (modulo \(2\pi\)) toujours avec une vitesse minimale (la même que sa vitesse initiale en ce point). En effet, cette position correspond à l'énergie potentielle maximale, et donc à l'énergie cinétique minimale.

Et le pendule repasse en \(\theta=0\) (modulo \(2\pi\)) toujours avec une vitesse maximale. En effet, cette position correspond à l'énergie potentielle minimale, et donc à l'énergie cinétique maximale.

Dans le plan de phases, la conservation de l'énergie définit une trajectoire, soit dans la région \(\theta'>0\), soit dans la région \(\theta'<0\) selon le sens du lancement initial.