Physique
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Instabilité d'un Pendule Simple

Le pendule simple est lâché avec une vitesse initiale depuis le point situé sur sa verticale (point supérieur défini par (modulo )).

On suppose que son énergie totale reste constante (pas de frottement).

L'énergie totale du pendule est la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique :

  • son énergie potentielle s'exprime :

  • son énergie cinétique s'exprime :

La conservation de l'énergie ( constante ) fournit alors une relation qui décrit une trajectoire dans cet espace de représentation, que l'on nomme : "plan de phase" (partie droite de la simulation).

Cette relation a été intégrée numériquement pour obtenir la relation qui détermine la solution dans l'espace physique (partie gauche de l'animation).

Dans le cas représenté ici, le pendule repasse en (modulo ) toujours avec une vitesse nulle : il peut rester dans cette position un temps indéterminé (équilibre instable) puis reprendre son mouvement d'un côté ou de l'autre, c'est à dire avec une vitesse angulaire ou .

Cette situation est "catastrophique" au sens où une forme de déterminisme est battu en brêche (au point où l'on ne peut pas connaître la trajectoire réelle).

Dans le plan de phases cependant, la conservation de l'énergie définit parfaitement une trajectoire, de sorte que le postulat déterministe se trouve satisfait à ce niveau .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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