Calcul des effectifs sous l'hypothèse Ho

Calcul des effectifs théoriques sous l'hypothèse Ho

événements

A1

Ai

Ak

Totaux

échantillons

observés calculés

observés calculés

observés calculés

\(E_{1}\)

\(O_{11}\)

\(C_{11}\)

\(O_{i1}\)

\(C_{i1}\)

\(O_{k1}\)

\(C_{k1}\)

\(T_{1}\)

\(E_{j}\)

\(O_{1j}\)

\(C_{1j}\)

\(O_{ij}\)

\(C_{ij}\)

\(O_{kj}\)

\(C_{kj}\)

\(T_{j}\)

\(E_{L}\)

\(O_{1L}\)

\(C_{1L}\)

\(O_{iL}\)

\(C_{iL}\)

\(O_{kL}\)

\(C_{kL}\)

\(T_{L}\)

Totaux

\(S_{1}\)

\(S_{i}\)

\(S_{k}\)

\(N\)

Les L échantillons sont réunis en un seul échantillon de taille N, et la probabilité de Ai est égale à \(P_{i} = \frac {\overset{L}{\underset{j = 1}{\sum}} \textrm{Oij}}{N} = \frac{S_{i}}{N}\).

L'effectif calculé de la classe Ai pour l'échantillon Ej est alors : \(C_{ij} = P_{i} ( \overset{k}{\underset{i = 1}{\sum}} \textrm{Oij} ) = P_{i}T_{j} = \frac { S_{i}T_{j} } {N}\)

Sous l'hypothèse (Ho) : \(\chi^{2} \textrm(calcul\acute{e}) = \overset{k}{\underset{i = 1}{\sum}}~\overset{L}{\underset{j = 1}{\sum}} \frac{(O_{ij} - C_{ij})^{2}}{C_{ij}}\) suit la loi du χ2 à = (k-1)(L-1) degré de liberté.

Remarque

Pour la validité du test, il faut que Cij > 5 pour tout i et pour tout j !

Si ce n'est pas le cas, on fait :

  • soit des regroupements judicieux entre le Ai

  • soit on calcule un χ2 corrigé de Yates : \(\underset{\textrm{Yates}}{\chi^{2}} = \overset{k}{\underset{i = 1}{\sum}}~\overset{L}{\underset{j = 1}{\sum}} \frac{(|o_{ij} - c_{ij}| - 0,5)^{2}}{c_{ij}}\)

Décision

  • si χ2 calculé >= χ2α l'hypothèse (Ho) est écartée avec un risque d'erreur α.

  • si χ2calculé < χ2α l'hypothèse (Ho) ne peut être refusée avec un risque d'erreur α.