Particule sur un segment - relation de normalisation
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Soit\(\Psi\textrm{(x,t)}\)une fonction d'onde stationnaire décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes \(\textrm{X} = 0\) et \(\textrm{X} = \textrm{L}\). On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :
\(\mathrm{\Psi(x) = \textrm{A} \sin (n \pi x/L )}\)
où\(\textrm{A}\) est une constante réelle positive et n un entier strictement positif.
Déterminer la constante de normalisation\(\textrm{A}\).
On donne : \(\mathrm{2 \sin^{2}(u) = 1 - \cos(2u)}\)
Solution
La densité de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde. On a donc :
\(\mathrm{\mid\Psi(x)\mid^2 = A^2 \sin^2 (n \pi x/L})\)
On somme sur le segment. On doit trouver 1 si la fonction est normalisée :
\(\mathrm{\displaystyle\int_{0}^{L}\mid\Psi(x)\mid^2 dx= A^2 \displaystyle\int_{0}^{L}\sin^2 (n\pi x/L ) dx = 1}\)
soit :
\(\mathrm{1 = \frac{A^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{L}1 - \cos( 2 n \pi x/L) dx =\frac{A^2}{2}\bigg[\displaystyle\int_{0}^{L}dx - \displaystyle\int_{0}^{L}\cos(2n\pi x/L) dx \bigg]}\)
Or
\(\mathrm{\displaystyle\int_{0}^{L}\cos(2n\pi x/L)dx = \frac{L}{2n\pi}[\sin(2n\pi x/L)]_{0}^{L} = 0}\)
Il vient donc en définitive :
\(\mathrm{1 = \frac{A^2}{2}\bigg[\int_{0}^{L}dx\bigg] = \frac{A^2 L}{2}}\)
soit :
\(\mathrm{A = \sqrt{\frac{2}{L}}}\)