Particule sur un segment - probabilité de présence
Durée : 15 mn
Note maximale : 5
Question
Soit\(\Psi_{\textrm{n}}\textrm{(x,t)}\)une fonction d'onde stationnaire et normalisée décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes \(\textrm{X} = 0\) et \(\textrm{X} = \textrm{L}\). On ne travaille que sur la partie spatiale de la fonction d'onde que l'on prend sous la forme suivante :
\(\mathrm{\Psi_{n}(x) = \sqrt{ \frac{2}{L}} \sin (n \pi x/L )}\)
où n un entier strictement positif.
Déterminer la probabilité de présence de la particule sur les segments \(\big[ 0 , \frac{\textrm{L}}{2}\big]\)et\(\left[\frac{\textrm{L}}{2} , \textrm{L}\right]\).
On donne : \(\mathrm{2 \sin^{2} (u) = 1 - \cos(2u)}\)
Solution
La densité de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde.
On a donc :
\(\mathrm{ \mid \Psi_{n}(x)\mid^{2} = \frac{2}{L} \sin^2 (n\pi x/L)}\)
On somme cette densité pour chaque segment.
Pour le premier segment, on intègre la densité sur le segment \(\big[0 , \frac{\textrm{L}}{2}\big]\):
\(\mathrm{\displaystyle\int_{0}^{L/2}\mid\Psi_{n}(x)\mid^2 dx= \frac{2}{L} \displaystyle\int_{0}^{L/2}\sin^2 (n\pi x/L ) dx}\)
soit :
\(\mathrm{\displaystyle\int_{0}^{L/2}\mid\Psi_{n}(x)\mid^2 dx = \frac{2}{L}\displaystyle\int_{0}^{L/2}1 - \cos( 2 n \pi x/L) dx =\frac{1}{L}\bigg[\displaystyle\int_{0}^{L/2}dx - \displaystyle\int_{0}^{L/2}\cos(2n\pi x/L) dx \bigg]}\)
La dernière intégrale s'annule et il reste :
\(\mathrm{\displaystyle{\int_{0}^{L/2}}\mid Y_{n}(x)\mid^{2} dx = \frac{1}{L}\bigg[\displaystyle{\int_{0}^{L/2}}dx\bigg] = \frac{1}{L}\times \frac{L}{2} = \frac{1}{2}}\)
La probabilité de présence sur le segment \(\big[0 , \frac{\textrm{L}}{2}\big]\)est de\(\mathrm{0,5}\)soit 50%.
On montrerait de même que la particule a 50% de chance de se trouver sur le segment suivant \(\big[ \frac{\textrm{L}}{2} , {\textrm{L}}\big]\).
Densité de probabilité de présence dans les états \(\Psi_{1}\textrm{(x)}\)et\(\Psi_{2}\textrm{(x)}\)
L'aire hachurée représente la probabilité de présence sur le segment\(\big[0 , \frac{\textrm{L}}{2}\big]\).