Densité radiale
Partie
Question
L'orbitale \(\mathrm{1s}\) exprimée en coordonnées sphériques s'écrit :
\(\Psi_{1s}(\mathrm{r},\theta,\phi )=\frac{1}{\sqrt\pi}\left(\frac{\mathrm{Z}}{\mathrm{a_0}}\right)^{\frac{3}2}\textrm{exp}~\left(-\frac{\mathrm{Z_r}}{\mathrm{a_0}}\right)\)
Exprimer la densité radiale de probabilité de présence dans cet état quantique.
Aide simple
Intégrer sur une couche sphérique revient à sommer sur toutes les orientations (angles \(\theta\) et\(\phi\) ) possibles.
Une orbitale de type\( \mathrm{s}\) ne varie pas avec les angles \(\theta\) et \(\phi\) . Elle n'intervient pas dans l'intégration sur ces angles.
Il est inutile dans ce cas d'utiliser l'expression développée de l'orbitale dans les intégrations.
Aide méthodologique
On doit partir de la définition de la probabilité élémentaire de présence sur une couche sphérique d'épaisseur\( \mathrm{dr}\), située à une distance\( \mathrm{r}\) du noyau.
Cette probabilité élémentaire\( \mathrm{dP_r}\) est la somme (l'intégrale) des probabilités élémentaires dans tous les volumes élémentaires\( \mathrm{dv}\) appartenant à cette couche sphérique.
Aide à la lecture
Il faut déterminer la densité de probabilité de présence sur une sphère de rayon \(\mathrm{r}\), connaissant la densité volumique de probabilité de présence.
Solution détaillée
La densité volumique de probabilité de présence est :
\(\psi^2(\mathrm{r},\theta,\phi )=\frac{\textrm{dP}}{\textrm{dv}}\)
La probabilité élémentaire de présence dans le volume élémentaire\( \mathrm{dv}\) est :
\(\mathrm{dP}=\psi^2~\mathrm{dv}=\psi^2~\mathrm{r}^2\sin{\theta}~\mathrm{dr}~\mathrm{d\theta}~\mathrm{d\phi}\)
Dans une couche sphérique d'épaisseur \(\mathrm{dr}\), la probabilité élémentaire \(\mathrm{dP_r}\) est obtenue en intégrant
sur les angles de rotation \(\theta\) et \(\phi\).
\(\mathrm{dP_r}=\displaystyle{\int_{\theta=0}^\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi}\mathrm{dP}=\displaystyle{\int_{\theta=0}^\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi}\psi^2\mathrm{r}^2\sin{\theta}~\mathrm{dr}~\mathrm{d\theta}~\mathrm{d\phi}\)
On tire parti du fait que\( \psi\) ne varie pas avec les angles\( \theta\) et \(\phi\) :
\(\mathrm{dP_r}=\psi^2\mathrm{r}^2\mathrm{dr}\times\displaystyle{\int_{\theta=0}^\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi}\sin{\theta}~\mathrm{d\theta}~\mathrm{d\phi}\)
\(\mathrm{dP_r}=\psi^2\mathrm{r}^2\mathrm{dr}\times\displaystyle{\int_{\theta=0}^\pi}\sin{\theta}~\mathrm{d\theta}\times\int_{\phi=0}^{2\pi}\mathrm{d\phi}\)
\(\mathrm{dP_r}=\psi^2\mathrm{r}^2\mathrm{dr}\times[-\cos{\theta}]_0^\pi\times2\pi=4\pi~\mathrm{r}^2 \psi^2\mathrm{dr}\)
La densité radiale est définie par : \(\mathrm{dP_r}=\mathrm{D(r)}~\mathrm{dr}\).
Il vient en définitive :
\(\mathrm{D(r)}=\frac{\mathrm{dP_r}}{\mathrm{dr}}=4\pi~\mathrm{r}^2 \psi^2=4\mathrm{r}^2\Bigg(\frac{\textrm{Z}}{a_0}\Bigg)^3\mathrm{exp}\Bigg(-\frac{2~\mathrm{Zr}}{a_0}\Bigg)\)
Pour cette orbitale \(\textrm{1s}\), on trouve donc que la densité radiale de probabilité de présence sur une sphère de rayon\( \textrm{r}\) est égale au produit de la densité volumique \(\psi^2\) par la surface de la sphère\( 4\pi~\mathrm{r}^2\). C'est un résultat attendu en raison de la symétrie sphérique de l'orbitale.