Représentation de la partie angulaire d'une orbitale de type pz en coordonnées polaires
Partie
Question
La partie angulaire de l'orbitale \(2\mathrm{p_z}\) s'exprime comme la fonction \(\cos\theta\).
On se place dans le plan \(\mathrm{xOz}\).
1. Montrer que la représentation polaire \(\vert\cos\theta\vert\) de est constituée de deux cercles
de rayon\( \frac{1}{2}\) centrés en\( \left(0,0,\pm\frac{1}{2}\right)\).
2. Montrer que dans l'espace à trois dimensions, cette représentation conduit à des sphères tangentes.
Aide simple
L'orientation du segment et sa longueur sont liées dans ce problème.
Aide méthodologique
La représentation polaire consiste à porter un segment de longueur \(\vert\cos\theta\vert\) orienté suivant l'angle d'écartement \(\theta\) par rapport à l'axe \(\mathrm{z'Oz}\).
Il faut en premier lieu faire un schéma illustrant la représentation polaire et y porter les coordonnées de l'extrémité du segment.
Le passage à la troisième dimension demande de considérer l'influence de l'angle de rotation \(\phi\).
Aide à la lecture
On demande d'établir l'équation des deux cercles formant la représentation polaire de \(\vert\cos\theta\vert\) dans le plan \(\mathrm{xOz}\).
Solution détaillée
1. La représentation polaire consiste à porter un segment de longueur \(\vert\cos\theta\vert\) orienté suivant l'angle d'écartement \(\theta\) par rapport à l'axe \(\mathrm{z'Oz}\). Les coordonnées de l'extrémité du segment sont \(\mathrm{x}\) et \(\mathrm{z}\). Le schéma ci-dessous illustre cette représentation.
On utilise le théorème de Pythagore. Il vient :
\(\mathrm{x}^2+\mathrm{z}^2=\mathrm{OM}^2=\left(\cos\theta\right)^2\)
or, dans le système de coordonnées sphériques, et dans le plan\(\mathrm{xOz}\) , on a :
\(\cos\theta=\frac{\mathrm{z}}{\textrm{OM}}=\frac{\mathrm{z}}{\vert\cos\theta\vert}\)
Lorsque \(\mathrm{z}\) est positif,\(\left(\cos\theta\right)^2=\mathrm{z}\) . Il vient alors :
\(\mathrm{x}^2+\mathrm{z}^2=\mathrm{z} \Leftrightarrow\mathrm{x}^2+\left(\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
C'est l'équation d'un cercle de rayon\( \frac{1}{2}\) centré en\( \left(0,\frac{1}{2}\right)\).
Lorsque \(\mathrm{z}\) est négatif,\(\left(\cos\theta\right)^2=-\mathrm{z}\) . On obtient de même :
\(\mathrm{x}^2+\mathrm{z}^2=\mathrm{-z} \Leftrightarrow\mathrm{x}^2+\left(\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
C'est l'équation d'un cercle de rayon \(\frac{1}{2}\) centré en \(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\).
2. La partie angulaire est indépendante de l'angle de rotation\( \phi.\)
On doit donc retrouver la même figure quel que soit le plan vertical contenant\( \mathrm{z'Oz}\). Il y a symétrie de révolution autour de cet axe et la figure générée par la symétrie de révolution conduit à deux sphères tangentes à l'origine, de rayon \(\frac{1}{2}\) centrés en \(\left(0,0,\pm\frac{1}{2}\right)\).
