Les ions hydrogénoïdes

1. Le rayonnement émis lors d'une transition du niveaux\(\textrm{n}_{\textrm{i}}\)vers le niveau\(\textrm{n}_{\textrm{f}}\) \((\textrm{n}_{\textrm{i}}>\textrm{n}_{\textrm{f}})\)peut être assimilé à l'énergie d'un photon émis dans la théorie corpusculaire de la lumière. L'énergie\(\epsilon\)de ce photon est donnée par la relation de Planck-Einstein et correspond exactement à la différence d'énergie\(( \textrm{E}_{\textrm{i}} - \textrm{E}_{\textrm{f}})\)entre les 2 niveaux étudiés :

\(\epsilon = E_{i} - E_{f} = h~c~\overline{\nu}\)

On obtient ainsi la relation :

\(\overline{\nu} = \frac{m_{e}~e^{4}~Z^{2}}{2~h~c~ (2~\epsilon_{0}~h)^{2}}\bigg\arrowvert\frac{1}{\textrm{n}_{\textrm{f}}^{2}} - \frac{1}{\textrm{n}_{\textrm{i}}^{2}}\bigg\arrowvert\)

La valeur absolue permet de garantit le signe positif du nombre d'onde.

2. La constante de Rydberg\(\textrm{R}_{\textrm{H}}\)se définit comme le facteur :

\(\textrm{R}_{\textrm{H}} = \frac{m_{e}~e^{4}}{2~h~c~ (2~\epsilon_{0}~h)^{2}}\)

Nota Bene :

\(\textrm{R}_{\textrm{H}}\)dans cet exercice est une grandeur théorique qui ne dépend pas de la nature de l'ion hydrogénoïde (indépendant de\(Z\)) dans cette expression. En réalité la masse\(\textrm{m}_{\textrm{e}}\)de l'électron doit être remplacée par la masse réduite de l'atome qui dépend rigoureusement de\(Z\), bien que très peu différente de\(\textrm{m}_{\textrm{e}}\).

En utilisant toutes les données en Unité SI, la constante de Rydberg s'exprime en\(\textrm{m}^{-1}\). On trouve :

\(\textrm{R}_{\textrm{H}} = \frac{\mathrm{9,109} . 10^{-31} \times~\big(\mathrm{1,602} . 10^{-19}\big)^{4}\times~\big(4\pi~\times~9 . 10^{9}\big)^{2}}{8~\times~\mathrm{2,998} . 10^{8} \times \big(\mathrm{6,626} . 10^{-34}\big)^{3}} = \mathrm{1,098}~10^{7}~\textrm{m}^{-1}\)

soit :

\(\textrm{R}_{\textrm{H}} = \mathrm{1,098}~10^{5}~\textrm{cm}^{-1}\)