Suites bornées, suites stationnaires, suites périodiques
Définition : Suites majorées, minorées, bornées
Une suite réelle \((u_n)\) est
majorée s'il existe un réel \(m_1\) tel que, pour tout entier \(n\) on ait \(\displaystyle{u_n\leq m_1}\)
minorée s'il existe un réel \(m_2\) tel que, pour tout entier \(n\) on ait \(\displaystyle{u_n\geq m_2}\)
bornée s'il existe un réel \(M\) tel que, pour tout entier \(n\), on ait . \(\vert u_n\vert\leq M\)
On traduit cette dernière propriété en langage formalisé :
\(\displaystyle{\exists M\in\mathbb R,\forall n\in\mathbb N\quad\vert u_n\vert\leq M}\)
Une suite non bornée se caractérise en écrivant la négation de la proposition précédente :
\(\displaystyle{\forall M\in\mathbb R,\exists n_0\in\mathbb N\quad\vert u_{n_0}\vert> M}\)
Définition : Suites stationnaires
Une suite réelle \((u_n)\) est stationnaire s'il existe un réel \(a\) et un entier \(n_0\) tels que, pour tout entier \(n\geq n_0\) , on ait \(u_n = a\).
Soit encore :
\(\displaystyle{}\exists a\in\mathbb R,\exists n_0\in\mathbb N,\forall n\geq n_0\quad u_n=a\).
Définition : Suites périodiques
Une suite réelle \((u_n)\) est périodique s'il existe un entier \(k \geq 1\) tel que, pour tout entier \(n\), on ait \(u_{n+k} = u_n\) .
Soit encore :
\(\displaystyle{\exists k\in\mathbb N^*,\forall n\in\mathbb N\quad u_{n+k}=u_n}\).
Exemple :
Considérons les suites \((u_n) ,(v_n),(w_n),(t_n)\) définies respectivement par :
\(u_n=n^2+1,v_n=\cos\Big(\frac{n\pi}{6}\Big),w_n=\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\) \((n\geq 2)\), \(t_n=\left[\frac{5}{n}\right]\) \((n\geq 1)\) où \([ ]\) désigne la partie entière d'un réel.
Les suites \((v_n),(w_n)\) et \((t_n)\) sont bornées, la suite \((u_n)\) n'est pas bornée.
La suite \((t_n)\) est stationnaire : \(\displaystyle{\forall n\geq 6, t_n=0}\)
La suite \((v_n)\) est périodique : \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N\quad u_{n+12}=u_n}\)
Dans le cas de la suite \(\mathcal U\) définie par : \({\left\{\begin{array}{ll}u_0=2, &\\u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n} & \forall n\in\mathbb N\end{array}\right.}\)
on a \(u_0 = 2\), et la fonction \(\phi\) vérifiant :
\(\displaystyle{\forall x\in[1,2],1\leq\phi(x)\leq2}\)
car \(\displaystyle{\frac{1}{2}\leq\frac{x}{2}\leq1}\) et \(\displaystyle{\frac{1}{2}\leq\frac{1}{x}\leq1}\).
On en déduit : \(\forall n\geq 0,1\leq u_n\leq2\)
Quant à la suite \((u_n)\) où \(u_n=\textrm{n-ième décimale de}\) \(\pi\) , elle est bornée mais non périodique; en effet, si \(x\) est un réel et si on note \(x_n=d_0,d_1d_2...d_n\) l'approximation décimale d'ordre \(n\) avec \(d_0\in\mathbb Z,d_i\in\{0,1......9\}\), alors les rationnels sont caractérisés par la périodicité de la suite \((d_n)\) .