Suites monotones
Les suites étant des applications de \(\mathbb N\), ensemble totalement ordonné, dans \(\mathbb R\), ensemble totalement ordonné, les définitions suivantes sont un cas particulier des définitions générales des applications monotones.
Définition :
Soit \((u_n)\) une suite réelle ; on dit que
\((u_n)\) est croissante si, pour tout \(n\) entier, \(u_n\leq u_{n+1}\),
\((u_n)\) est décroissante si, pour tout \(n\) entier, \(u_{n+1}\leq u_n\),
\((u_n)\) est monotone si \((u_n)\) est croissante ou si \((u_n)\) est décroissante.
Lorsque les inégalités sont strictes la suite est strictement croissante (resp. décroissante, monotone).
Exemple :
On reprend les exemples du paragraphe précédent c'est à dire qu'on considère les suites \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) et \((t_n)\) définies respectivement par :
\(\displaystyle{u_n=n^2+1,v_n=\cos(\frac{n\pi}{6}),w_n=\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}}\) \((n\geq 2)\), \(t_n=\left[\frac{5}{n}\right]\) \((n\geq 1)\) où \([]\)
désigne la partie entière d'un réel.
La suite \((u_n)\) est strictement croissante, la suite \((t_n)\) est décroissante mais non strictement décroissante. Les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) ne sont pas monotones.
Dans le cas de la suite \(\mathcal U\) définie par :\( {\left\{\begin{array}{ll}u_0=2 ,&\\u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n} & \forall n\in\mathbb N\end{array}\right.}\)
On a :
\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=-\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n}=\frac{2-u_n^2}{u_n}}\)
Le signe de \(\displaystyle{u_{n+1} - u_n}\) dépend donc de celui de \(\displaystyle{u_n-\sqrt2}\).
On a :
\(\displaystyle{u_{n+1}-\sqrt2=\frac{u_n²+2}{2u_n}-\sqrt2=\frac{(u_n-\sqrt{2})²}{2u_n}}\),
d'où \(\displaystyle{\forall n\geq 1,u_n-\sqrt2>0}\)
On en déduit que, pour tout entier \(n, u_{n+1} - u_n\) est positif, la suite \(\mathcal U\) est donc décroissante.