Théorème des suites monotones
Théorème :
Soit \((u_n)\) une suite croissante de réels,
si \((u_n)\) est majorée, elle est convergente et \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=\textrm{ sup }\{u_n,n\in\mathbb N\}}\),
si \((u_n)\) n'est pas majorée, elle tend vers \(+\infty\).
Preuve :
On a, pour les suites monotones, un théorème spécifique qui permet de les étudier de façon simple. Sa démonstration repose sur l'existence de la borne supérieure pour une partie non vide majorée de \(\mathbb R\) .
En effet :
\((u_n)\) majorée
On pose alors \(\displaystyle{l=\textrm{ sup }\{u_n,n\in\mathbb N\}}\), et d'après la définition de la borne supérieure on a : \(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\quad\exists N\in\mathbb N\quad l-\epsilon< u_N\leq l}\);
la suite \((u_n)\) étant croissante on a l'implication : \(\displaystyle{n\geq N\Rightarrow u_n\geq u_N}\).
D'où finalement : \(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb N,\quad\forall n\geq N\quad l-\epsilon< u_n\leq l}\)
et donc \(\displaystyle{l=\lim_{n\to+\infty}u_n}\)
\((u_n)\) non majorée
D'une part : \(\displaystyle{\forall A\in\mathbb R_+\quad\exists N\in\mathbb N\quad u_N> A}\);
d'autre part, la suite \((u_n)\) étant croissante : \(\displaystyle{n\geq N\Rightarrow u_n\geq u_N> A}\)
D'où finalement : \(\displaystyle{\forall A\in\mathbb R_+\quad\exists N\in\mathbb N,\forall n\geq N\quad u_n> A}\)
et donc \(\displaystyle{u_n\to+\infty}\).
Remarque :
a. Le théorème est vrai si \((u_n)\) est croissante à partir d'un certain rang c'est-à-dire :
\(\displaystyle{\forall n\geq n_0\quad u_n\leq u_{n+1}}\)
b. On a un énoncé analogue pour les suites décroissantes.
c. On remarque donc la situation particulière des suites monotones : il n'y a qu'une catégorie de suites divergentes : suites tendant vers \(+\infty\) pour les suites croissantes, suites tendant vers \(-\infty\) pour les suites décroissantes. Le phénomène de suite sautante comme celles décrites ce-dessous ne peut se rencontrer dans ce cas.
\((\cos n)\)
voir l'illustration graphique ci-dessous.
(Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier).
\(\Big((-1)^n\Big)\)
voir l'illustration graphique ci-dessous.
(Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier).
\(\Big(n\sin\frac{n\pi}{2}\Big)\)
voir l'illustration graphique ci-dessous.
(Vous pouvez visualiser les points de la suite sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier).
d. Le théorème des suites monotones est un outil important dans l'étude des suites récurrentes.
Toutefois il ne faut pas exagérer son importance : beaucoup de suites ne sont pas monotones, comme les trois suites que nous venons de citer : \(\displaystyle{(\cos n), \Big((-1)^n\Big)}\) ou \(\displaystyle{\Big(n\sin\frac{n\pi}{2}\Big)}\) et il ne donne aucune idée de la rapidité de la convergence éventuelle de la suite.