Suites adjacentes
Définition :
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont dites adjacentes si les conditions suivantes sont vérifiées:
L'une est croissante et l'autre est décroissante
\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0}\)
Théorème :
Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite.
Preuve :
C'est une application du théorème sur les suites monotones .
Les conditions 1. et 2. entraînent la convergence des suites \((u_n)\) et \((v_n)\) en effet :
les inégalités : \(\forall n\in\mathbb N\quad u_n\leq v_n\leq v_0\) entraînent que \((u_n)\) est majorée, elle est croissante, elle est donc convergente;
les inégalités : \(\forall n\in\mathbb N\quad u_0\leq u_n\leq v_n\) entraînent que \((v_n)\) est minorée, elle est décroissante, elle est donc convergente.
Il y a alors (une fois la convergence établie ) équivalence entre les égalités
\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}v_n}\) et \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0}\) .
L'intérêt des suites adjacentes provient en partie du fait qu'elles fournissent une suite d'encadrements de leur limite commune.
Remarque :
Le fait que la suite \((u_n)\) est majorée est donné par l'inégalité : \(\forall n\in\mathbb N\quad u_n\leq v_0\) (\(v_0\) est un réel fixe) et non \(u_n\leq v_n\), de même pour la minoration de \((v_n)\) par \(u_n\) .
Exemple : Exemple où la convergence est rapide
Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par
\(\displaystyle{b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},a_{n+1}=\frac{2}{b_{n+1}},a_0=1,b_0=2}\)
qui encadrent \(\sqrt2\) sont des suites adjacentes.
On a en effet \(a_0=1, b_0=2, a_1=\frac{4}{3}\) et \(b_1=\frac{3}{2}\) d'où \(b_1-a_1=0,16>0\);
les inégalités \(\displaystyle{0< a_0< a_1< b_1< b_0}\) sont donc vérifiées.
Supposons qu'on ait : \(\displaystyle{0< a_{n-1}< a_n< b_n< b_{n-1}}\),
on en déduit :
\(\displaystyle{b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}< b_n,}\)
\(\displaystyle{a_{n+1}=\frac{2}{b_{n+1}}> a_n}\) et
\(\displaystyle{b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\frac{4}{a_n+b_n}=\frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_n+b_n)}>0}\)
Les conditions 1. et 2. sont donc vérifiées.
La dernière inégalité entraîne, par ailleurs
\(\displaystyle{0< b_{n+1}-a_{n+1}<\frac{(b_n-a_n)^2}{4}<\frac{b_n-a_n}{4}}\)
d'où par une récurrence immédiate
\(\displaystyle{0< b_{n+1}-a_{n+1}<\frac{b_0-a_0}{4^n}=\frac{1}{4^n}}\)
La condition 3. est vérifiée. Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes. Elles ont donc même limite.
L'égalité \(a_nb_n=2\) entraîne alors l'implication: \(a_n<\sqrt2\Rightarrow b_n>\sqrt2\) on a donc
\(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,a_n<\sqrt2< b_n}\)
La limite commune ne peut être que \(\sqrt2\).
On remarque que la suite \((b_n)\) n'est autre que la suite \(\mathcal U\) définie au paragraphe 1.1. On remarque également que la convergence des deux suites vers leur limite commune est très rapide car :
\(\displaystyle{0< b_{n+1}-a_{n+1}<\frac{1}{4^n}}\)
Exemple : Exemple où la convergence est lente
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) les suites définies par
\(\displaystyle{u_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}}\) et
\(\displaystyle{v_n=u_n+\frac{1}{2n+1}}\) \((n\geq 1)\) .
Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, en effet on a :
\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>0}\)
\(\displaystyle{v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}<0}\)
la condition 1. est vérifiée, la condition 2. l'est également de façon évidente.
Formons \(\displaystyle{v_n-u_n=\frac{1}{2n+1}}\) on a \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0}\) d'où la condition 3. On verra ultérieurement (cours sur les développements limités) que la limite commune de ces deux suites est \(\ln2\). L'égalité \(\displaystyle{v_n-u_n=\frac{1}{2n+1}}\) montre que, à la différence de l'exemple précédent, la convergence est lente.
la condition 1. est vérifiée, la condition 2. l'est également de façon évidente.
Formons \(\displaystyle{v_n-u_n=\frac{1}{2n+1}}\) on a \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0}\) d'où la condition 3. On verra ultérieurement (cours sur les développements limités) que la limite commune de ces deux suites est \(\ln2\). L'égalité \(\displaystyle{v_n-u_n=\frac{1}{2n+1}}\) montre que, à la différence de l'exemple précédent, la convergence est lente.
Exemple : Approximation décimale d'un réel
Les approximations décimales à \(10^{-n}\) près par défaut et par excès d'un réel \(x\), non décimal, constituent des suites adjacentes dont la limite est \(x\) (cf cours sur les Réels). En effet soit, pour tout \(n\in\mathbb N, x_n\) et \(x'_n\) respectivement l'approximation décimale par défaut et par excès de \(x\) à \(10^{-n}\) près.
On a \(\displaystyle{x_n=\frac{\vert10^nx\vert}{10^n}}\) et \(\displaystyle{x'_n=\frac{\vert10^nx\vert}{10^n}+\frac{1}{10^n}}\).
Les inégalités
\(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N\quad\left\{\begin{array}{ll}0\le x_{n+1}-x_n<10^{-n}\\0\le x'_n-x'_{n+1}<10^{-n}\\x'_n-x_n=10^{-n}\end{array}\right.}\)
entraînent immédiatement que les conditions 1., 2. et 3. sont vérifiées.