Suites de nombres réels

Si la fonction \(\phi\) est croissante sur \(I\), alors la suite \((u_n)\) est monotone.

Effectuer la différence de deux termes consécutifs.

Les différences \(\displaystyle{u_{n+1}-u_n}\) et \(\displaystyle{u_n-u_{n-1}}\) sont de même signe, on a en effet les implications :

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}u_{n-1}\leq u_n\Rightarrow\phi(u_{n-1})=u_n\leq\phi(u_n)=u_{n+1}\textrm{ et }\\u_{n-1}\geq u_n\Rightarrow\phi(u_{n-1})=u_n\geq \phi(u_n)=u_{n+1}\end{array}}\)

La suite \((u_n)\) est donc monotone.

Par conséquent si \(u_0\leq u_1\) la suite est croissante, si \(u_0\geq u_1\) la suite est décroissante.

Si la fonction \(\phi\) est décroissante sur \(I\), alors la suite \((u_n)\) n'est pas monotone, les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont monotones et de sens de variation contraires.

Considérer la fonction \(\phi\circ\phi\).

Les différences \(u_{n+1}-u_n\) et \(u_n-u_{n-1}\)sont de signe contraire, on a en effet les implications

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}u_{n-1}\leq u_n\Rightarrow\phi(u_{n-1})=u_n\geq \phi(u_n)=u_{n+1}\textrm{ et }\\u_{n-1}\geq u_n\Rightarrow\phi(u_{n-1})=u_n\leq\phi(u_n)=u_{n+1}\end{array}}\)

La suite \((u_n)\) n'est pas monotone, mais en considérant la fonction \(\phi\circ\phi\) on constate que celle ci est croissante, en effet :

\(\displaystyle{x_1\geq x_2\Rightarrow\phi(x_1)\geq \phi(x_2)\Rightarrow\phi\circ\phi(x_1)\leq\phi\circ\phi(x_2)}\)

On pose alors \(v_n=u_{2n}\) et \(w_n=u_{2n+1}\) ;

\(v_{n+1}=u_{2n+2}=\phi\circ\phi(v_n)\) et \(w_{n+1}=\phi\circ\phi(w_n)\)

les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont monotones.

D'autre part \(w_n=\phi(v_n)\), ainsi si \((v_n)\) est croissante \((w_n)\) est décroissante et si \((v_n)\) est décroissante \((w_n)\) est croissante. Le sens de variation de chacune des suites est donné en comparant par exemple les termes \(u_0\) et \(u_2\).