Cas où la fonction phi est dérivable sur I et sa dérivée est bornée par un réel strictement inférieur à 1
Proposition :
Si \(\forall x\in I,\quad\vert\phi'(x)\vert\leq k<1\) et si la fonction \(\phi\) a un point fixe \(l\in I\) alors la suite \((u_n)\) est convergente et a pour limite \(l\in I\) .
Remarque :
Outre la preuve de la convergence de la suite on évalue la rapidité de cette convergence qu'on peut comparer à celle d'une suite géométrique de raison \(k\).
Preuve :
C'est une application de l'inégalité des accroissements finis.
D'après l'inégalité des accroissements finis, on a :
\(\displaystyle{\forall x_1\in I,\forall x_2\in I,\vert\phi(x_2)-\phi(x_1)\vert\leq k\vert x_2-x_1\vert}\).
Une telle application est dite contractante.
Supposons que la fonction \(\phi\) ait un point fixe \(l\in I\) , ce point fixe est alors unique, en effet s'il en existait un autre \(l'\), on aurait alors :
\(\displaystyle{\vert\phi(l)-\phi(l')\vert=\vert l-l'\vert\leq k\vert l-l'\vert<\vert l-l'\vert}\),
d'où la contradiction.
On a également, pour tout entier \(n\),
\(\displaystyle{\vert\phi(u_n)-\phi(l)\vert=\vert u_{n+1}-l\vert\leq\vert u_n-l\vert}\).
On en déduit :
\(\displaystyle{\vert u_n-l\vert\leq k^n\vert u_0-l\vert}\).
La suite est donc convergente et a pour limite \(l\in I\).