Suites de Cauchy
Définition :
Soit \((u_n)\) une suite réelle; on dit que \((u_n)\) est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si :
quel que soit \(\epsilon>0\), il existe un entier \(N\) tel que les inégalités \(p\geq N\) et \(n\geq N\) entraînent \(\vert u_p-u_n\vert<\epsilon\).
Soit encore
\(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb N,\forall(p,n)\in\mathbb N^2}\) \(\displaystyle{(p\geq N}\) et \(\displaystyle{n\geq N\Rightarrow\vert u_p-u_n\vert<\epsilon)}\)
On doit insister, dans cette définition, sur le fait que la condition \(\displaystyle{\vert u_p-u_n\vert<\epsilon}\) doit être réalisée, pour tout couple \((n,p)\) où \(n\) et \(p\) sont supérieurs à \(N\); en particulier la condition \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0}\) n'entraine pas que la suite \((u_n)\) est une suite de Cauchy, comme on le verra dans l'exemple \(\mathbf b\) plus loin.
Une suite qui n'est pas de Cauchy est caractérisée par :
\(\displaystyle{\exists\epsilon>0,\forall N\in\mathbb N,\exists(p,n)\in\mathbb N^2(p\geq N,n\geq N}\) et \(\displaystyle{\vert u_p-u_n\vert\geq \epsilon)}\)
Exemple :
La suite géométrique \((k^n)\), pour \(0< k<1\), est une suite de Cauchy.
On a, pour \(p> n>0,\vert k^p-k^n\vert=k^n\vert k^{{p-n}}-1\vert< k^n\) .
Donc, en prenant \(\displaystyle{N=\left[\frac{\ln\epsilon}{\ln k}\right]+1}\) on a, pour \(p> n\geq N,\vert k^p-k^n\vert<\epsilon\).
La suite \(\displaystyle{(\ln n)_{n\geq 1}}\) n'est pas une suite de Cauchy
Pour \(p> n>0\), on a : \(\displaystyle{0<\ln p-\ln n=\ln\frac{p}{n}}\),
donc si \(p =2n\) on a \(\ln p -\ln n =\ln2\).
Donc, pour \(\epsilon=\ln2\) et pour tout entier \(N\) positif, il existe des entiers \(p =2n\) et \(n\) supérieurs à \(N\) tels que \(\ln p -\ln n =\ln2\).
En revanche \(\displaystyle{\ln(n+1)-\ln n=\ln\frac{n+1}{n}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\to0}\) quand \(\displaystyle{n\to+\infty}\) , ce qui prouve bien que la condition \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0}\) n'entraîne pas que la suite est de Cauchy.
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si \(\displaystyle{\vert u_p-l\vert}\) et \(\displaystyle{\vert u_n-l\vert}\) sont petits il en est de même pour \(\vert u_p-u_n\vert\). En revanche, si l'on considère la suite \(\mathcal U\) définie par :
\(\left\{\begin{array}{ll}u_0=2 & \textrm{et}\\u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n} & \forall n\in\mathbb N,\end{array}\right.\)
il s'agit d'une suite de rationnels qui converge dans \(\mathbb R\), donc est de Cauchy, or sa limite \(\sqrt2\) n'appartient pas à \(\mathbb Q\) : la convergence d'une suite de Cauchy est liée à une propriété spécifique de \(\mathbb R\).