Suites de nombres réels

Etude de la série harmonique

On pose, pour tout \(\displaystyle{n\geq 1,\mathcal S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}\) et on montre que la suite \((\mathcal S_n)\) n'est pas de Cauchy c'est à dire que : \(\displaystyle{\exists\epsilon>0,\forall N\in\mathbb N,\exists(p,n)\in\mathbb N^2}\) \(\displaystyle{(p\geq N,n\geq N}\) et \(\displaystyle{\vert\mathcal S_p-\mathcal S_n\vert\geq \epsilon)}\)

Pour \(\displaystyle{p\geq n,\mathcal S_p-\mathcal S_n=\sum_{k=n+1}^p\frac{1}{k}}\) , donc si \(p=2n\), compte tenu des inégalités

\(\displaystyle{\frac{1}{k}\geq \frac{1}{2n}}\) \(\displaystyle{(k=n+1,....,2n)}\)

on obtient \(\displaystyle{\mathcal S_{2n}-\mathcal S_n\geq \frac{1}{2}}\).

Donc pour \(\displaystyle{\epsilon=\frac{1}{2}}\) et pour tout \(N\) entier positif il existe des entiers \(n\) et \(2n\) supérieurs à \(N\) tels que \(\displaystyle{\mathcal S_{2n}-\mathcal S_n\geq \frac{1}{2}}\) . La suite \((\mathcal S_n)\), dite série \(\displaystyle{\sum_{n\geq 1}\frac{1}{k}}\), ou série harmonique en raison de son rôle en acoustique, n'est pas de Cauchy, elle est donc divergente. On remarque, ici encore, que la différence entre deux termes consécutifs \(\displaystyle{\mathcal S_{n+1}-\mathcal S_n=\frac{1}{n+1}}\) tend, elle, vers 0, alors que la suite n'est pas de Cauchy.

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(\left\{\begin{array}{ll}u_0=1 &\textrm{ et}\\u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2^nu_n}\end{array}\right.\)

On remarque que l'on est là devant une relation qui lie \(u_{n+1}\), \(u_n\)  et \(n\).

On peut alors exprimer \(u_p-u_n\) pour \(p> n\), suivant une méthode assez fréquemment utilisée, sous la forme suivante :

\(\displaystyle{u_p-u_n=\sum_{k=n}^{p-1}(u_{k+1}-u_n)=\sum_{k=n}^{p-1}\frac{1}{2^ku_k}}\)

Or, tous les \(u_n\) étant de façon évidente positifs, on a \(\displaystyle{u_{k+1}-u_k\geq 0}\) ; la suite \((u_n)\) est donc croissante et, pour tout entier \(n\geq 1, u_n\geq 1\).

D'où, pour \(\displaystyle{p\geq n :0\leq u_p-u_n\leq\sum_{k=n}^{p-1}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^n}\left(\frac{1-\frac{1}{2^{p-n}}}{1-\frac{1}{2}}\right)}\)

Les inégalités, pour \(p\ge n,0\leq u_p-u_n\leq2^{-(n-1)}\) , entraînent que \((u_n)\) est une suite de Cauchy, elle est donc convergente.