Généralités sur les fonctions

L'ensemble \(F(I, \mathbb R)\) muni des opérations :

• addition : \(\forall f,\forall g\in F(I,\mathbb R)\quad f+g :\forall x\in I\quad x\mapsto f(x)+g(x)\),

• multiplication par un réel :

  \(\displaystyle{\forall\lambda\in\mathbb R,\forall f\in F(I, \mathbb R),\quad\lambda f :\forall x\in I\quad x\mapsto\lambda f(x)}\)

est un espace vectoriel sur \(\mathbb R\) dont l'élément neutre est la fonction nulle :

\(\displaystyle{\forall x\in I\quad x\mapsto0}\).

Avec la multiplication :

\(\displaystyle{\forall f,\forall g\in F(I,\mathbb R),\quad fg :\forall x\in I\quad x\mapsto f(x)g(x),F(I, \mathbb R)}\)

devient un anneau commutatif unitaire dont l'élément unité est la fonction :

\(\forall x\in I\quad x\mapsto1\).

Cet anneau n'est pas d'intégrité car le produit de 2 fonctions non nulles peut être la fonction nulle, comme le montre l'exemple des fonctions \(f\textrm{ et }g\) définies sur \([0,1]\) respectivement par :

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}f(x)&=&1,0\leq x\leq\frac{1}{2}\textrm{ et }f(x)=0,\frac{1}{2}< x<1\\g(x)&=&0,0\leq x\leq\frac{1}{2}\textrm{ et }g(x)=1,\frac{1}{2}< x<1\end{array}}\)

Toutefois si \(f\) ne s'annule pas sur \(I\) on peut définir l'inverse de la fonction \(f\) par :

\(\displaystyle{\frac{1}{f} :x\mapsto\frac{1}{f(x)}}\)