Généralités sur les fonctions

L'ensemble $F(I, \mathbb R)$ muni des opérations :

• addition : $\forall f,\forall g\in F(I,\mathbb R)\quad f+g :\forall x\in I\quad x\mapsto f(x)+g(x)$,

• multiplication par un réel :

  $\displaystyle{\forall\lambda\in\mathbb R,\forall f\in F(I, \mathbb R),\quad\lambda f :\forall x\in I\quad x\mapsto\lambda f(x)}$

est un espace vectoriel sur $\mathbb R$ dont l'élément neutre est la fonction nulle :

$\displaystyle{\forall x\in I\quad x\mapsto0}$.

Avec la multiplication :

$\displaystyle{\forall f,\forall g\in F(I,\mathbb R),\quad fg :\forall x\in I\quad x\mapsto f(x)g(x),F(I, \mathbb R)}$

devient un anneau commutatif unitaire dont l'élément unité est la fonction :

$\forall x\in I\quad x\mapsto1$.

Cet anneau n'est pas d'intégrité car le produit de 2 fonctions non nulles peut être la fonction nulle, comme le montre l'exemple des fonctions $f\textrm{ et }g$ définies sur $[0,1]$ respectivement par :

$\displaystyle{\begin{array}{lll}f(x)&=&1,0\leq x\leq\frac{1}{2}\textrm{ et }f(x)=0,\frac{1}{2}< x<1\\g(x)&=&0,0\leq x\leq\frac{1}{2}\textrm{ et }g(x)=1,\frac{1}{2}< x<1\end{array}}$

Toutefois si $f$ ne s'annule pas sur $I$ on peut définir l'inverse de la fonction $f$ par :

$\displaystyle{\frac{1}{f} :x\mapsto\frac{1}{f(x)}}$