Fonctions bornées
On considère une application \(f\) d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbb R\).
Définition : Fonction majorée, fonction minorée et fonction bornée
On dit que \(f\) est majorée (resp minorée, bornée), si \(f(I)\) est une partie majorée (resp.minorée, bornée) de \(\mathbb R\), c'est à dire:
\(f\) majorée sur \(I\) : \(\displaystyle{\exists M\in\mathbb R,\forall x\in I\quad f(x)\leq M}\),
\(f\) minorée sur \(I\) : \(\displaystyle{\exists m\in\mathbb R,\forall x\in I\quad f(x)\geq m}\)
\(f\) bornée sur \(I\) : \(f\) est majorée et minorée:
\(\exists M\in\mathbb R,\forall x\in I\quad\vert f(x)\vert\leq M\).
Quand \(f\) est majorée (resp. minorée) sur \(I\) on note
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\sup_{I}f&=&\sup_{x\in I}f(x)=\sup f(I)\\\inf_{I}f&=&\inf_{x\in I}f(x)=\inf f(I)\end{array}}\)
Exemple :
Les fonctions sinus et cosinus sont bornées par 1.
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points des courbes représentant les fonctions sur les figures suivantes. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Fonction illustrée :
\(f: x\mapsto\sin(x)\)
Fonction illustrée :
\(f : x\mapsto\cos(x)\)
Exemple :
L'exponentielle est minorée par \(0\) qui est sa borne inférieure mais non majorée sur \(\mathbb R\).
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points des courbes représentant les fonctions sur les figures suivantes. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Fonction illustrée :
\(f: x\mapsto\textrm e^{(x)}\)
Exemple :
Le logarithme n'est ni majoré ni minoré sur \(\mathbb R_+^*\).
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points des courbes représentant les fonctions sur les figures suivantes. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Fonction illustrée :
\(f: x\mapsto\ln(x)\)