Fonctions monotones
On considère une application \(f\) d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbb R\).
Définition : Sens de variation d'une fonction
On dit que \(f\) est
croissante (resp décroissante) sur \(I\) si :
\(\forall x_1,\forall x_2\in I(x_1\leq x_2\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2))\quad(\textrm{ resp }x_1\leq x_2\Rightarrow f(x_1)\geq f(x_2))\)
strictement croissante (resp décroissante) sur \(I\) si :
\(\forall x_1,\forall x_2\in I(x_1< x_2\Rightarrow f(x_1)< f(x_2))\quad(\textrm{ resp }x_1\leq x_2\Rightarrow f(x_1)> f(x_2))\)
monotone (resp strictement monotone) sur \(I\) si f est croissante sur \(I\) ou décroissante sur \(I\) (resp. strictement croissante ou strictement décroissante sur \(I\) ).
Exemple :
L'exponentielle est croissante sur \(\mathbb R\).
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Fonction illustrée :
\(f: x\mapsto\textrm e^{(x)}\)
Exemple :
Le logarithme est croissant sur \(]0,+\infty[\).
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Fonction illustrée :
\(f: x \mapsto\ln(x)\)
Exemple :
Les fonctions puissances \(x\mapsto x^n\) \((n\in\mathbb N^*)\) sont croissantes si \(n\) est impair.
Illustration graphique :
La fonction \(x\mapsto x^3\) est croissante sur \(\mathbb R\). Il en est de même pour toute fonction \(x\mapsto x^{2n+1}\).
Vous pouvez visualiser les points des courbes représentant les fonctions sur les figures suivantes. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Elles sont décroissantes sur \(]-\infty,0]\) et croissantes sur \([0,+\infty[\) si \(n\) est pair.
Illustration graphique :
La fonction \(x\mapsto x^2\) est décroissante sur \(\mathbb R^-\) et croissante sur \(\mathbb R^+\). Il en est de même pour toute fonction \(x\mapsto x^{2n}\).
Vous pouvez visualiser les points des courbes représentant les fonctions sur les figures suivantes. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Dans l'étude d'une fonction \(f\), avant d'aborder la variation de \(f\) et de partager l'ensemble de définition \(D\) en intervalles tels que sur chacun d'eux \(f\) soit monotone, on recherche si la fonction présente des propriétés remarquables qui simplifient l'étude comme la parité ou la périodicité. Ces propriétés ont une traduction géométrique sur le graphe \(C_f\) de \(f\).