Dérivées et opérations

ThéorèmeOpérations algébriques

Soit \(f \textrm{ et }g\) deux fonctions dérivables en \(x_0\), alors les fonctions \(\displaystyle{f+g, fg \textrm{ et si }g(x_0)\neq0,\frac{f}{g}}\) sont dérivables en \(x_0\) et l'on a

  • \((f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\)

  • \((fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\)

  • \(\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}}\)

On remarque que l'ensemble des fonctions numériques dérivables en \(x_0\) est un espace vectoriel et que l'application \(f\mapsto f'(x_0)\)  est linéaire de cet espace vectoriel dans \(\mathbb R\).

Preuve

On le fait dans le cas du produit en écrivant le taux de variation sous forme d'une somme de \(2\) taux de variations contrôlables.

On considère, pour \(x\neq x_0\) , le rapport \(\displaystyle{\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}}\),

qu'on écrit sous la forme: \(\displaystyle{\frac{f(x)(g(x)-g(x_0))+g(x_0)(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}}\),

les fonctions \(f \textrm{ et }g\) étant dérivables, et donc a fortiori continues, en \(x_0\) , on a

\(\displaystyle{\lim_{x\mapsto x_0}f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)g'(x_0)}\) et

\(\displaystyle{\lim_{x\mapsto x_0}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g(x_0)f'(x_0)}\).

D'où la formule.

ThéorèmeComposition des applications

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et dérivable en point \(x_0 \textrm{ de I }, g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) contenant \(f(x_0)\), dérivable en \(f(x_0)\); alors \(gof\) est dérivable en \(x_0\) et \((gof)'(x_0)=f'(x_0)(g'of)(x_0)\).

Preuve

On considère \(gof(x_0+h)-gof(x_0)\)

On pose \(u_0 = f(x_0)\), la dérivabilité des fonctions \(f \textrm{ et }g\) se traduit par les égalités suivantes (\(h\) étant tel que \(f(x_0+h)\) appartienne à \(J\)):

\(\displaystyle{f(x_0+h)-f(x_0)=h(f'(x_0)+\epsilon_1(h))}\textrm{ et }g(u_0+k)-g(u_0)=k(g'(u_0)+\epsilon_2(k))\)

avec \(\displaystyle{\lim_{h\to0}\epsilon_1(h)=\lim_{k\rightarrow0}\epsilon_2(k)=0}\).

D'où pour \(\displaystyle{k=f(x_0+h)-f(x_0)}\) :

\(\displaystyle{\begin{array}{lll}gof(x_0+h)-gof(x_0)&=&(hf'(x_0)+h\epsilon_1(h))(g'of(x_0)+\epsilon_2(hf'(x_0)+h\epsilon_1(h)))\\&=&hf'(x_0)g'(f(x_0))+h\epsilon_3(h)\end{array}}\)

avec \(\displaystyle{\lim_{h\to0}\epsilon_3(h)=0}\).

La condition 2. est donc vérifiée et \((gof)'(x_0)= f'(x_0)(g'of)(x_0)\).