Dérivées et opérations
Théorème : Opérations algébriques
Soit \(f \textrm{ et }g\) deux fonctions dérivables en \(x_0\), alors les fonctions \(\displaystyle{f+g, fg \textrm{ et si }g(x_0)\neq0,\frac{f}{g}}\) sont dérivables en \(x_0\) et l'on a
\((f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\)
\((fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\)
\(\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}}\)
On remarque que l'ensemble des fonctions numériques dérivables en \(x_0\) est un espace vectoriel et que l'application \(f\mapsto f'(x_0)\) est linéaire de cet espace vectoriel dans \(\mathbb R\).
Preuve :
On le fait dans le cas du produit en écrivant le taux de variation sous forme d'une somme de \(2\) taux de variations contrôlables.
On considère, pour \(x\neq x_0\) , le rapport \(\displaystyle{\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}}\),
qu'on écrit sous la forme: \(\displaystyle{\frac{f(x)(g(x)-g(x_0))+g(x_0)(f(x)-f(x_0))}{x-x_0}}\),
les fonctions \(f \textrm{ et }g\) étant dérivables, et donc a fortiori continues, en \(x_0\) , on a
\(\displaystyle{\lim_{x\mapsto x_0}f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)g'(x_0)}\) et
\(\displaystyle{\lim_{x\mapsto x_0}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g(x_0)f'(x_0)}\).
D'où la formule.
Théorème : Composition des applications
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et dérivable en point \(x_0 \textrm{ de I }, g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) contenant \(f(x_0)\), dérivable en \(f(x_0)\); alors \(gof\) est dérivable en \(x_0\) et \((gof)'(x_0)=f'(x_0)(g'of)(x_0)\).
Preuve :
On considère \(gof(x_0+h)-gof(x_0)\)
On pose \(u_0 = f(x_0)\), la dérivabilité des fonctions \(f \textrm{ et }g\) se traduit par les égalités suivantes (\(h\) étant tel que \(f(x_0+h)\) appartienne à \(J\)):
\(\displaystyle{f(x_0+h)-f(x_0)=h(f'(x_0)+\epsilon_1(h))}\textrm{ et }g(u_0+k)-g(u_0)=k(g'(u_0)+\epsilon_2(k))\)
avec \(\displaystyle{\lim_{h\to0}\epsilon_1(h)=\lim_{k\rightarrow0}\epsilon_2(k)=0}\).
D'où pour \(\displaystyle{k=f(x_0+h)-f(x_0)}\) :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}gof(x_0+h)-gof(x_0)&=&(hf'(x_0)+h\epsilon_1(h))(g'of(x_0)+\epsilon_2(hf'(x_0)+h\epsilon_1(h)))\\&=&hf'(x_0)g'(f(x_0))+h\epsilon_3(h)\end{array}}\)
avec \(\displaystyle{\lim_{h\to0}\epsilon_3(h)=0}\).
La condition 2. est donc vérifiée et \((gof)'(x_0)= f'(x_0)(g'of)(x_0)\).