Extremum local et annulation de la dérivée
On considère un intervalle \(I\), un point \(x_0\) de \(I\) intérieur à \(I\) et \(f\) une application de \(I\) dans \(\mathbb R\).
Définition : Extremum local
On dit que \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) , s'il existe un intervalle ouvert \(I(x_0)\) centré en \(x_0\) tel que, pour \(x\) appartenant à \(I(x_0), f(x)-f(x_0)\) garde un signe constant.
Il s'agit d'un minimum si \(f(x)-f(x_0)\geq 0\), d'un maximum si \(f(x)-f(x_0)\leq0\).
Si la dérivée existe, son annulation, qui entraîne que le graphe a une tangente horizontale, donne une condition nécessaire pour qu'il y ait un extremum local.
Proposition :
Si \(f\) est dérivable en \(x_0 \textrm{ et si }f\) admet en \(x_0\) un extremum local, alors \(f'(x_0)=0\).
Preuve : (Pour un minimum)
On a pour \(\displaystyle{x\geq x_0\quad \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq0}\) , d'où \(f '(x_0)\leq0\),
et pour \(\displaystyle{x\leq x_0\quad\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0}\) , d'où \(f '(x_0)\geq 0\).
On en déduit \(f '(x_0)=0\).
Attention :
La réciproque est fausse : il suffit de considérer la fonction \(x\mapsto x^3\) au point \(0\).