Exercice 3

Durée : 15 mn

Note maximale : 12

Question

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}(1-\sin~x)\tan~x}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-\cos~x)\ln~(1+x)}{\sin~x\tan^2x}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln~\left(\frac{x+a}{x+b}\right)}{\sin~\left(\frac{x+a}{x^2+b^2}\right)}}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{(\sin~x)^x-1}{x^x-1}}\)

    (on pourra commencer par montrer les égalités : \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}x\ln~\sin x=0}\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln~\sin x}{\ln x}=1}\).)