Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Durée : 12 mn

Note maximale : 8

Question

Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels : on suppose que \(P\) a toutes ses racines réelles (c'est-à-dire que si \(P\) est de degré \(n\), \(P\) a \(n\) racines réelles), montrer qu’il en est de même pour le polynôme dérivé \(P’\).

On distinguera le cas où toutes les racines sont distinctes (simples) et on rappelle la propriété (cf le module sur les polynômes) que si \(P\) admet r pour racine d’ordre \(k\), \(P’\) admet \(r\) pour racine d’ordre \(k-1\).

Solution

Démonstration :

Supposons que \(P\) est de degré \(n\), par hypothèse \(P\) a \(n\) racines réelles, on peut les nommer de sorte que \(x_1\le x_2\le...\le x_{n-1}\le x_n\).

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  1. Si ces n racines sont distinctes, on a

    \(x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n\), le théorème de Rolle appliqué au segment \([x_i,x_{i+1}], i=1...n-1\) montre l'existence d'un zéro yi de \(P'\) à l'intérieur de ce segment.

    \(P'\) a donc \(n-1\) racines réelles.

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  2. Si certaines de ces racines sont confondues (racines multiples), il y a deux cas:

    • si

      \(x_i<x_{i+1}\) l'argument précédent montre l'existence d'un zéro yi de \(P'\) à l'intérieur du segment \([x_i,x_{i+1}]\),

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    • si

      \(x_i=x_{i+1}=x_{i+2}=..=x_{i+k}\), cela veut dire que xi est racine d'ordre \(k+1\) de \(P\) et donc racine d'ordre \(k\) de \(P\)', on pose alors \(y_i=y_{i+1}=...=y_{i+k-1}=x_i\)

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    et \(P'\) a (en comptant les multiplicités) \(n-1\) racines