Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Durée : 6 mn

Note maximale : 4

Question

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), telle que :

\(\forall x\in\mathbb R : f(x)\ge0, f'(x)\ge0, f''(x)\ge0\).

On suppose que \(f''\) n’est pas la fonction nulle.

  1. Indiquer le sens de variation de \(f\) et \(f’\). Montrer qu’il existe un réel \(r\) tel que \(f’(r) > 0\).

  2. En utilisant la formule des accroissements finis sur l’intervalle \([r,x],x>r\), montrer que \(f(x)\rightarrow+\infty\) quand \(x\rightarrow+\infty\).