Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Durée : 12 mn

Note maximale : 10

Question

  1. Montrer que l’équation \(e^{2x}-e^4(1+x)=0\) a une solution positive unique \(S\). Situer \(S\) entre deux entiers consécutifs.

  2. On considère la suite (un) définie par la donnée de \(u_0 > 0\) et par la relation de récurrence :

    \(u_{n+1}=\frac{1}{2}\ln(1+u_n)+2\).

    Montrer que cette suite est convergente et a pour limite \(S\).

  3. Calculer \(S\) avec une précision de 10-3 (on ne demande pas de calcul d’erreur).

Solution

Démonstration

1. Soit \(f\) la fonction \(x\mapsto e^{2x}-e^4(1+x)\). La dérivée \(f’(x)\) vaut \(2e^{2x}-e^4\). La fonction \(f ’\) est une fonction strictement croissante de \(x\), négative en 1, positive en 2, elle s’annule donc en \(b\) tel que \(1<b<2\). \(f\) est décroissante sur \([0,b]\), croissante ensuite.

2pts

Comme \(f(2)=-2e^4<0\) et \(f(3)=e^6-4e^4>0\) puisque \(e^2>4\), \(f\) qui est continue et strictement croissante sur \([2,+\infty[\) admet une racine et une seule entre 2 et 3. On la note \(S\). Comme \(f(0)=1-e^4<0\), il n’y a pas de racine entre 0 et 2.

2pts

2. Soit \(g\) la fonction \(x\mapsto\frac{1}{2}\ln(1+x)+2\). Elle est de classe C1 sur \(\mathbb R_+\), à image dans \(\mathbb R_+\) et sa dérivée est \(g'(x)=\frac{1}{2(1+x)}\). Sur \(\mathbb R_+\), on a \(|g'(x)|\le\frac{1}{2}\) donc \(g\) est contractante.

1pt1/2

La suite (un) définie par la donnée de \(u_0 > 0\) et par la relation de récurrence \(u_{n+1}=g(u_n)\) est convergente vers l’unique réel positif \(L\) tel que \(L=g(L)\),

En effet on a

\(|u_{n+1}-L|=|g(u_n)-g(L)|\le\frac{1}{2}|u_n-L|\le\frac{1}{2^n}|u_1-L|\).

En prenant l’exponentielle (après multiplication par 2) : \(e^{2L}-e^4(1+L)=0\).

1pt1/2

Comme il n’y a qu’une racine, \(S\), on en déduit que \(S=L\).

1pt

3. Prenons par exemple \(u_0=\textrm{3,001}\) et calculons les premiers termes de la suite.

On peut utiliser une calculette (peu commode pour une capture d’écran) ou un logiciel sur un ordinateur.

Exemple avec Maple :

>x:=3.001 :

> for i from 0 to 10 do

> print(i,x):x:=ln(1+x)/2+2 od:

0, 3.001

1, 2.693272165

2, 2.653256416

3, 2.647809470

4, 2.647063421

5, 2.646961151

6, 2.646947130

7, 2.646945208

8, 2.646944944

9, 2.646944908

10, 2.646944903

(on part de 3.001 en Maple pour forcer le passage en mode numérique, avec 3 il faudrait utiliser la commande " evalf ").

Donc L=2,646….(2,647 convient aussi)

2pts