Démonstration
1. Soit \(f\) la fonction \(x\mapsto e^{2x}-e^4(1+x)\). La dérivée \(f’(x)\) vaut \(2e^{2x}-e^4\). La fonction \(f ’\) est une fonction strictement croissante de \(x\), négative en 1, positive en 2, elle s’annule donc en \(b\) tel que \(1<b<2\). \(f\) est décroissante sur \([0,b]\), croissante ensuite.
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Comme \(f(2)=-2e^4<0\) et \(f(3)=e^6-4e^4>0\) puisque \(e^2>4\), \(f\) qui est continue et strictement croissante sur \([2,+\infty[\) admet une racine et une seule entre 2 et 3. On la note \(S\). Comme \(f(0)=1-e^4<0\), il n’y a pas de racine entre 0 et 2.
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2. Soit \(g\) la fonction \(x\mapsto\frac{1}{2}\ln(1+x)+2\). Elle est de classe C1 sur \(\mathbb R_+\), à image dans \(\mathbb R_+\) et sa dérivée est \(g'(x)=\frac{1}{2(1+x)}\). Sur \(\mathbb R_+\), on a \(|g'(x)|\le\frac{1}{2}\) donc \(g\) est contractante.
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La suite (un) définie par la donnée de \(u_0 > 0\) et par la relation de récurrence \(u_{n+1}=g(u_n)\) est convergente vers l’unique réel positif \(L\) tel que \(L=g(L)\),
En effet on a
\(|u_{n+1}-L|=|g(u_n)-g(L)|\le\frac{1}{2}|u_n-L|\le\frac{1}{2^n}|u_1-L|\).
En prenant l’exponentielle (après multiplication par 2) : \(e^{2L}-e^4(1+L)=0\).
1pt1/2
Comme il n’y a qu’une racine, \(S\), on en déduit que \(S=L\).
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3. Prenons par exemple \(u_0=\textrm{3,001}\) et calculons les premiers termes de la suite.
On peut utiliser une calculette (peu commode pour une capture d’écran) ou un logiciel sur un ordinateur.
Exemple avec Maple :
>x:=3.001 :
> for i from 0 to 10 do
> print(i,x):x:=ln(1+x)/2+2 od:
0, 3.001
1, 2.693272165
2, 2.653256416
3, 2.647809470
4, 2.647063421
5, 2.646961151
6, 2.646947130
7, 2.646945208
8, 2.646944944
9, 2.646944908
10, 2.646944903
(on part de 3.001 en Maple pour forcer le passage en mode numérique, avec 3 il faudrait utiliser la commande " evalf ").
Donc L=2,646….(2,647 convient aussi)
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