Théorème et inégalité des accroissements finis. Formule de Taylor-Lagrange (TAF)

Démonstration

Au polynôme \(X^n+pX+q\) on associe la fonction polynomiale \(f : x\mapsto x^n+px+q\) , elle est deux fois continûment dérivable de dérivées \(f' : x \mapsto nx^{n-1}+p\) et \(f'' : x\mapsto n(n-1)x^{n-2}\). 1pt

• Si \(n\) est pair, \(f''\) est positive ou nulle sur \(\mathbb R\), nulle en un seul point, donc \(f’\) est strictement croissante (de \(-\infty\) à \(+\infty\)) et change de signe une fois et une seule : il existe un réel \(a\) tel que \(f\) est décroissante (strictement) sur \(]-\infty,a]\) et croissante (strictement) sur \(]a,+\infty[\). \(f\) a donc 0, 1 ou 2 racines selon que \(f(a)\) est positif, nul ou négatif.

  Si \(f(a)=0\), il n’y a qu’une racine mais elle est double. 3pts

• Si \(n\) est impair, \(f''\) est positive (strictement) sur \(\mathbb R^*_+\) et négative (strictement) sur \(\mathbb R^*_-\) : \(f’\) est décroissante (strictement) sur \(]-\infty,0]\) et croissante (strictement) sur \(]0,+\infty[\). \(f’\) a donc 0, 1 ou 2 racines selon que \(f’(0)\) est positif, nul ou négatif. Si \(f’(0)=0\), il n’y a qu’une racine mais elle est double.

• si \(f’\) n’a pas de racine (ou en a une double) , \(f\) est monotone (croissante de \(-\infty\) à \(+\infty\)) donc a une racine, 3pts

• si \(f’\) a deux racines, soit \(a\) et \(b\) on a le tableau de variation

et il y a au plus trois racines (exactement 3 si \(f(a)>0\) et \(f(b)<0,1\) si \(f(a) . f(b)>0\)).