Formule de Taylor - Lagrange [Théorème et inégalité des accroissements finis. Formule de Taylor-Lagrange (TAF)]

Formule de Taylor - Lagrange

Durée : 7 mn

Note maximale : 5

On considère l’ensemble $E=\{f\in C^1 ([0,1]), \forall x\in[0,1] : f''(x)\le1\}$

Démonstration

D’après la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 en 1/2, il existe deux réels $c$ et $d$ dans $]0,1[$ tels que
$\left\{\begin{array} {ll}f(1)=f(1/2)+\frac{f'(1/2)}{2}+\frac{1}{4}\frac{f''(c)}{2} \\f(0)=f(1/2)-\frac{f'(1/2)}{2}+\frac{1}{4}\frac{f''(d)}{2} \end{array}\right.$
1pt1/2
soit
$\left\{\begin{array}{ll} f(1)-f(1/2)-\frac{f'(1/2)}{2}=\frac{1}{4}\frac{f''(c)}{2}\le\frac{1}{8} \\f(0)-f(1/2)+\frac{f'(1/2)}{2}=\frac{1}{4}\frac{f''(d)}{2}\le\frac{1}{8} \end{array}\right.$
ce qui en ajoutant donne la formule demandée.
1pt1/2
On peut bien sûr avoir l’égalité, il suffit que $f ''(c)= f ''(d)=1$ , ce qui est forcément le cas si la dérivée seconde est constante, de valeur 1 (c’est-à-dire si $f$ est un polynôme du second degré dont le coefficient de $x²$ vaut $\frac12$ ).
2pts