Formule de Taylor - Lagrange

Durée : 7 mn

Note maximale : 5

Question

On considère l’ensemble \(E=\{f\in C^1 ([0,1]), \forall x\in[0,1] : f''(x)\le1\}\)

  1. Montrer que \(\forall x\in[0,1], f(0)-2f(\frac{1}{2})+f(1)\le\frac{1}{4}.\)

  2. Peut-on avoir l’égalité ?

Solution

Démonstration

  1. D’après la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 en 1/2, il existe deux réels \(c\) et \(d\) dans \(]0,1[\) tels que

    \(\left\{\begin{array} {ll}f(1)=f(1/2)+\frac{f'(1/2)}{2}+\frac{1}{4}\frac{f''(c)}{2} \\f(0)=f(1/2)-\frac{f'(1/2)}{2}+\frac{1}{4}\frac{f''(d)}{2} \end{array}\right.\)

    1pt1/2

    soit

    \(\left\{\begin{array}{ll} f(1)-f(1/2)-\frac{f'(1/2)}{2}=\frac{1}{4}\frac{f''(c)}{2}\le\frac{1}{8} \\f(0)-f(1/2)+\frac{f'(1/2)}{2}=\frac{1}{4}\frac{f''(d)}{2}\le\frac{1}{8} \end{array}\right.\)

    ce qui en ajoutant donne la formule demandée.

    1pt1/2

  2. On peut bien sûr avoir l’égalité, il suffit que \(f ''(c)= f ''(d)=1\), ce qui est forcément le cas si la dérivée seconde est constante, de valeur 1 (c’est-à-dire si \(f\) est un polynôme du second degré dont le coefficient de \(x²\) vaut \(\frac12\)).

    2pts