Formule de Taylor - Lagrange

Durée : 7 mn

Note maximale : 7

Question

  1. Montrer que pour tout réel \(x>0\) l’on a

    \(x-\frac{x^2}{2}\le \ln(1+x)\le x\)

  2. En déduire la limite de la suite de terme général \(\displaystyle{\underset{k=1}{\overset{n}{\prod}}\left(1+\frac{k}{n^2}\right)}\).

Solution

Démonstration

  1. Soit \(x>0\). La fonction \(t\mapsto L(t)=\ln(1+t)\) est deux fois continûment dérivable sur \([0,x]\). On peut donc lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre 0 et \(x\). Il existe alors \(c\in]0,x[\) tel que

    \(L(x)=L(0)+xL'(0)+\frac{X²}{2}L''(c)\),

    c'est-à-dire tel que

    \(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}\frac{1}{(1+c)²}\)

    2pts

  2. Pour étudier la suite, on étudie son logarithme. Pour \(x=\frac{k}{n^2}\) on a alors \(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4}\le\ln(1+\frac{k}{n^2})\le\frac{k}{n^2}\)

    d'où l'on déduit

    \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}-\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2n^4}\le\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\le\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}\)

    qui compte tenu des égalités (classiques) \(\displaystyle{\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), devient

    \(\frac{n(n+1)}{2n^2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4}\le\ln(u_n)\le\frac{n(n+1)}{2n^2}\).

    3pts

    \(\ln(u_n)\) est encadré par deux quantités qui tendent vers 1/2, d'après le lemme des gendarmes, il en est de même pour \(\ln(u_n)\) et un tend vers \(\sqrt e\).

    2pts