Théorème et inégalité des accroissements finis. Formule de Taylor-Lagrange (TAF)

Démonstration

Soit \(r\) un réel positif et \(x>r\), appliquant la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre \(n\) en \(r\), il existe \(c\) dans \(]r,x[\), tel que

\(f(x)=f(r)+\frac{(x-r)f(r)}{1 !}+...+\frac{(x-r)^{n-1}f^{(n-1)}(r)}{(n-1) !}+\frac{(x-r)^nf^{(n)}(c)}{n !}\)

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Divisant par \(x^n\) :

\(\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f(r)}{x^n}+\frac{(x-r)f(r)}{1 !x^n}+...+\frac{(x-r)^{n-1}f^{(n-1)}(r)}{(n-1) !x^n}+\frac{(x-r)^nf^{(n)}(c)}{n !x^n}\)

\(\epsilon>0\) étant donné, choisissons \(r\) tel que pour tout \(y>r\) : \(|f^{(n)}(y)|\le\frac{\epsilon}{2}\) (ce qui est possible d’après l’hypothèse),

2pts

Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), les \(n\) premiers termes tendent vers 0, de sorte qu'il existe \(A\) (que l'on peut supposer supérieur à \(r\)) tel que pour tout \(x>A\), \(\left\vert\frac{f(r)}{x^n}+\frac{(x-r)f(r)}{1!x^n}+\cdots+\frac{(x-r)^{n-1}f^{(n-1)}(r)}{(n-1)!x^n}\right\vert\le \frac{\epsilon}{2}\)

Il s'ensuit que pour tout \(x>A\), \(\left\vert\frac{f(x)}{x^n}\right\vert\le\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\).

Cela montre que \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x^n}=0}.\)

3pts

Remarque : on ne peut se contenter d’appliquer la formule de Taylor en 0 car alors on ne sait pas a priori que \(c\) tend vers l’infini et on ne peut pas appliquer l’hypothèse \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{(n)}(x)=0.}\)