Démonstration
Soit r un réel positif et x>r, appliquant la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n en r, il existe c dans ]r,x[, tel que
f(x)=f(r)+\frac{(x-r)f(r)}{1 !}+...+\frac{(x-r)^{n-1}f^{(n-1)}(r)}{(n-1) !}+\frac{(x-r)^nf^{(n)}(c)}{n !}
2pts
Divisant par x^n :
\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f(r)}{x^n}+\frac{(x-r)f(r)}{1 !x^n}+...+\frac{(x-r)^{n-1}f^{(n-1)}(r)}{(n-1) !x^n}+\frac{(x-r)^nf^{(n)}(c)}{n !x^n}
\epsilon>0 étant donné, choisissons r tel que pour tout y>r : |f^{(n)}(y)|\le\frac{\epsilon}{2} (ce qui est possible d’après l’hypothèse),
2pts
Lorsque x tend vers +\infty, les n premiers termes tendent vers 0, de sorte qu'il existe A (que l'on peut supposer supérieur à r) tel que pour tout x>A, \left\vert\frac{f(r)}{x^n}+\frac{(x-r)f(r)}{1!x^n}+\cdots+\frac{(x-r)^{n-1}f^{(n-1)}(r)}{(n-1)!x^n}\right\vert\le \frac{\epsilon}{2}
Il s'ensuit que pour tout x>A, \left\vert\frac{f(x)}{x^n}\right\vert\le\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}.
Cela montre que \displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x^n}=0}.
3pts
Remarque : on ne peut se contenter d’appliquer la formule de Taylor en 0 car alors on ne sait pas a priori que c tend vers l’infini et on ne peut pas appliquer l’hypothèse \displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{(n)}(x)=0.}