Rappel de la définition et des propriétés des exposants entiers
Définition :
Définition de \(a^n\) pour \(n\) entier
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 1, et \(a\) réel, \(a^n\) est égal au produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) : \(a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n~fois}.\)
Pour \(n\) entier strictement négatif et \(a\) réel non nul, \(a^n\)est égal à l'inverse de \(a^{-n}\):
\(a^n = \frac{1}{a^{-n}}\) ( \(-n\)est un entier supérieur ou égal à 1).
Par convention, si \(a\) est un réel non nul, \(a^0 = 1.\)
\(a^n\) se lit " \(a\) puissance \(n\) " ou " \(a\) exposant \(n\) ".
Remarque :
Bien sûr, derrière les \("\dots"\)de la définition \(a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n~fois}\) pour \(n\) entier supérieur ou égal à 1, se cache une récurrence : \(\begin{cases} a^1 = a \\ \forall n \in \mathbb N ^*, a^{n+1} = a^n \times a\end{cases}\). Celle-ci donne le mode opératoire algorithmique du calcul de \(a^n.\)
Propriété :
Soit \(a, b\) des réels et \(n, p\) des entiers. On suppose \(a, b\) non nuls chaque fois que l'exposant est négatif ou nul.
On a les propriétés suivantes :
\(a^na^p = a^{n+p}\)
\(a^nb^n = (ab)^n\)
\(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\)
\(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\)
\((a^n)^p = a^{np}\)
Les propriétés du produit dans \(\mathbb R\) permettent de justifier simplement ces formules.